Определение логарифма

Пусть $a > 0$ , $a \ne 1$ и $b > 0$ . Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется такое число $c$ , что $a^c = b$ :

\log_a b = c \iff a^c = b.

Например, $\log_2 32 = 5$ , так как $2^5 = 32$ ; $\log_3 \frac{1}{9} = -2$ , так как $3^{-2} = \frac{1}{9}$ ; $\log_{\sqrt{2}} 4 = 4$ , так как $(\sqrt{2})^4 = 4$ .

Следите за условиями: основание положительно и не равно $1$ , а число под знаком логарифма положительно. Выражения $\log_2 (-8)$ , $\log_2 0$ , $\log_1 5$ не имеют смысла.

Есть два особых логарифма: десятичный $\lg b = \log_{10} b$ и натуральный $\ln b = \log_e b$ , где $e \approx 2{,}718$ .

Основное логарифмическое тождество

Из определения сразу следует основное логарифмическое тождество:

a^{\log_a b} = b.

Например, $5^{\log_5 7} = 7$ и $2^{3 + \log_2 5} = 2^3 \cdot 2^{\log_2 5} = 8 \cdot 5 = 40$ .

Кроме того, $\log_a 1 = 0$ (так как $a^0 = 1$ ), $\log_a a = 1$ и $\log_a a^p = p$ .

Логарифм произведения, частного и степени

При $x > 0$ , $y > 0$ :

\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y,

\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y,

\log_a x^p = p \log_a x,

\log_{a^k} x = \frac{1}{k} \log_a x \quad (k \ne 0).

Эти формулы применяют в обе стороны. Например, $\lg 4 + \lg 25 = \lg 100 = 2$ , $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$ , $\log_8 2 = \frac{1}{3} \log_2 2 = \frac{1}{3}$ .

При чётном показателе нужен модуль: $\log_a x^2 = 2 \log_a |x|$ , так как $x$ может быть отрицательным.

Переход к новому основанию

Логарифм можно перевести к любому новому основанию $c$ ( $c > 0$ , $c \ne 1$ ):

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.

Отсюда два полезных следствия:

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ (здесь $b \ne 1$ );
$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ .

Например, $\frac{\log_7 81}{\log_7 3} = \log_3 81 = 4$ и $\log_2 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8 = 3$ . Внимание: частное логарифмов не равно логарифму частного, то есть $\frac{\log_7 81}{\log_7 3} \ne \log_7 27$ .

Запомните

$\log_a b = c \iff a^c = b$ ; условия: $a > 0$ , $a \ne 1$ , $b > 0$ .
$a^{\log_a b} = b$ , $\log_a 1 = 0$ , $\log_a a = 1$ .
$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ , $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ , $\log_a x^p = p \log_a x$ .
$\log_{a^k} x = \frac{1}{k} \log_a x$ .
$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ и $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Вычислите: $2\log_3 6 - \log_3 4 + 49^{\log_7 2}$ .
Решение
1. По свойству логарифма степени $2\log_3 6 = \log_3 6^2 = \log_3 36$ .
2. Логарифм частного: $\log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 \frac{36}{4} = \log_3 9 = 2$ .
3. $49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2} = 7^{2\log_7 2} = 7^{\log_7 4} = 4$ (основное логарифмическое тождество).
Сумма: $2 + 4 = 6$ .

Ответ: $6$ .
Пример 2
Известно, что $\log_2 3 = a$ . Выразите $\log_{12} 18$ через $a$ .
Решение
Переходим к основанию $2$ : $\log_{12} 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 12}$ .
- $\log_2 18 = \log_2 (2 \cdot 3^2) = 1 + 2\log_2 3 = 1 + 2a$ ;
- $\log_2 12 = \log_2 (2^2 \cdot 3) = 2 + \log_2 3 = 2 + a$ .
Ответ: $\log_{12} 18 = \frac{1 + 2a}{2 + a}$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Вычислите: $\log_2 \frac{1}{8} + \log_{\sqrt{3}} 9$ .
1. $-7$
2. $-1$
3. $1$
4. $4$
5. $7$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $1$
$\log_2 \frac{1}{8} = -3$ , так как $2^{-3} = \frac{1}{8}$ . $\log_{\sqrt{3}} 9 = 4$ , так как $(\sqrt{3})^4 = 9$ . Сумма: $-3 + 4 = 1$ .
Вычислите: $\frac{\log_5 64}{\log_5 4}$ .
1. $2$
2. $3$
3. $4$
4. $16$
5. $\log_5 16$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $3$
Применяем формулу перехода к новому основанию в обратную сторону: $\frac{\log_5 64}{\log_5 4} = \log_4 64 = 3$ , так как $4^3 = 64$ . Ответ $\log_5 16$ получается, если считать частное логарифмов логарифмом частного.
Найдите значение выражения $3^{2 + \log_3 5}$ .
1. $14$
2. $25$
3. $30$
4. $45$
5. $75$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $45$
$3^{2 + \log_3 5} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 5} = 9 \cdot 5 = 45$ . Ответ $14$ получается при ошибочной записи $3^2 + 3^{\log_3 5} = 9 + 5$ .

Типичные ошибки

Считать логарифм суммы суммой логарифмов: $\log_a (x + y) \ne \log_a x + \log_a y$ . Это свойство верно только для произведения: $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ .
Записывать частное логарифмов как логарифм частного: $\frac{\log_a x}{\log_a y} \ne \log_a \frac{x}{y}$ . На самом деле $\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_y x$ .
Забывать об условиях: писать $\log_a x^2 = 2\log_a x$ и терять отрицательные $x$ (правильно $2\log_a |x|$ ). Кроме того, $(\log_a x)^2$ и $\log_a x^2$ — разные выражения.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото