Первый замечательный предел

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.

Здесь $x$ измеряется в радианах. Смысл результата такой: при $x$ , близком к нулю, $\sin x \approx x$ . Например, $\sin 0{,}01 \approx 0{,}01$ .

Идея доказательства: при $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , сравнивая площади треугольников и сектора в единичной окружности, получаем $\sin x < x < \tan x$ . Отсюда $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ . При $x \to 0$ имеем $\cos x \to 1$ , поэтому и среднее выражение стремится к $1$ .

Следствия первого предела

Для функций с аргументом $kx$ используют то, что $\frac{\sin kx}{kx} \to 1$ . Самые употребительные следствия ( $k \ne 0$ , $b \ne 0$ ):

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k$ и $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan kx}{x} = k$ ;
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}$ ;
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ ;
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$ .

Например, $\frac{\sin 7x}{x} = 7 \cdot \frac{\sin 7x}{7x} \to 7$ . В выражениях с $1 - \cos x$ помогает формула $1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$ .

Второй замечательный предел

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e,

\lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e,

где $e \approx 2{,}718$ — иррациональное число. Этот предел раскрывает неопределённость вида $1^\infty$ : основание стремится к $1$ , а показатель — к бесконечности. Внимание: ответ в таком пределе нельзя автоматически считать равным $1$ , это неопределённость, и её нужно раскрыть.

Общее следствие:

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx} = e^{km}.

Например, $\left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x} \to e^6$ и $\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \to e^{-1}$ .

Общее правило: приведите основание к виду $1 + \alpha$ , где $\alpha \to 0$ . Тогда предел выражения $(1 + \alpha)^{\beta}$ равен $e^{L}$ , где $L$ равно пределу произведения $\alpha \beta$ .

Следствия второго предела

Для логарифмической и показательной функций вблизи нуля получаются похожие результаты:

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ ;
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ и $\lim\limits_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ .

То есть при малых $x$ верно $\ln(1 + x) \approx x$ и $e^x - 1 \approx x$ . Например, $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = 3$ .

Запомните

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ( $x$ в радианах); $\frac{\sin kx}{x} \to k$ , $\frac{\tan kx}{x} \to k$ .
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}$ , $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ .
$\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \approx 2{,}718$ ; $1^\infty$ — неопределённость, ответ не обязательно равен $1$ .
$\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx} = e^{km}$ .
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Вычислите предел: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{x \sin x}$ .
Решение
При $x = 0$ и числитель, и знаменатель равны нулю, то есть имеем неопределённость $\frac{0}{0}$ .

Применим формулу $1 - \cos 4x = 2\sin^2 2x$ и сгруппируем выражение под замечательные пределы:

$\frac{2\sin^2 2x}{x \sin x} = 2 \cdot \frac{\sin 2x}{x} \cdot \frac{\sin 2x}{x} \cdot \frac{x}{\sin x}.$

При $x \to 0$ имеем $\frac{\sin 2x}{x} \to 2$ и $\frac{x}{\sin x} \to 1$ . Значит, предел равен $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 = 8$ .

Ответ: $8$ .
Пример 2
Вычислите предел: $\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^x$ .
Решение
При $x \to \infty$ основание стремится к $1$ , а показатель — к бесконечности: неопределённость $1^\infty$ .

Приводим основание к виду $1 + \alpha$ :

$\frac{x + 3}{x - 1} = 1 + \frac{4}{x - 1}.$

Обозначим $t = x - 1$ . Тогда $x = t + 1$ и $t \to \infty$ :

$\left(1 + \frac{4}{t}\right)^{t + 1} = \left(1 + \frac{4}{t}\right)^{t} \cdot \left(1 + \frac{4}{t}\right) \to e^4 \cdot 1 = e^4.$

Ответ: $e^4$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Вычислите предел: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 12x}$ .
1. $\frac{1}{4}$
2. $\frac{1}{3}$
3. $\frac{1}{2}$
4. $1$
5. $4$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $\frac{1}{4}$
$\frac{\tan 3x}{\sin 12x} = \frac{\tan 3x}{3x} \cdot \frac{12x}{\sin 12x} \cdot \frac{3x}{12x} \to 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ .
Вычислите предел: $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x}$ .
1. $e^{\frac{2}{3}}$
2. $e^{\frac{3}{2}}$
3. $e^2$
4. $e^5$
5. $e^6$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E $e^6$
В формуле $\left(1 + \frac{k}{x}\right)^{mx} \to e^{km}$ здесь $k = 2$ , $m = 3$ , значит, предел равен $e^6$ . Ответ $e^5$ получается, если числа $k$ и $m$ сложить, а не перемножить.
Вычислите предел: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$ .
1. $\frac{1}{4}$
2. $\frac{1}{2}$
3. $1$
4. $2$
5. $4$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $2$
$1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ , поэтому $\frac{1 - \cos 2x}{x^2} = 2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \to 2 \cdot 1 = 2$ .

Типичные ошибки

Применять первый замечательный предел, когда аргумент не стремится к нулю: $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ равен не $1$ , а $0$ , так как $|\sin x| \le 1$ .
Писать ответ $1$ в пределе вида $1^\infty$ только потому, что основание стремится к $1$ : предел выражения $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ равен $e$ .
Терять множитель $5$ в выражении $\frac{\sin 5x}{x}$ и писать ответ $1$ . Сначала нужно записать выражение как $5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}$ , тогда предел равен $5$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото