Ədədi ardıcıllığın limiti

$a_n = \frac{1}{n}$ ardıcıllığına baxaq: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{100}, \ldots$. Hədlər 0-a getdikcə yaxınlaşır: $n > 100$ olduqda $a_n < 0{,}01$, $n > 1000$ olduqda $a_n < 0{,}001$ və s.

Tərif. İstənilən $\varepsilon > 0$ ədədi üçün elə $N$ nömrəsi varsa ki, bütün $n > N$ üçün $|a_n - A| < \varepsilon$ ödənir, onda $A$ ədədinə $(a_n)$ ardıcıllığının limiti deyilir və $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$ yazılır.

Həndəsi mənası: $A$ nöqtəsinin istənilən $(A - \varepsilon; A + \varepsilon)$ ətrafına müəyyən nömrədən başlayaraq ardıcıllığın bütün hədləri düşür, ətrafdan kənarda isə yalnız sonlu sayda hədd qalır.

Məsələn, $a_n = \frac{n + 1}{n}$ üçün $|a_n - 1| = \frac{1}{n}$. $|a_n - 1| < 0{,}01$ olması üçün $n > 100$ olmalıdır, yəni 101-ci həddən başlayaraq bütün hədlər 1-dən 0,01-dən az fərqlənir. Deməli, bu ardıcıllığın limiti 1-dir.

Limiti olan ardıcıllığa yığılan, limiti olmayana isə dağılan ardıcıllıq deyilir.

• $a_n = (-1)^n$: hədlər $-1, 1, -1, 1, \ldots$ növbələşir və heç bir ədədə yaxınlaşmır, limit yoxdur.
• $a_n = n^2$: hədlər qeyri-məhdud artır, sonlu limit yoxdur (belə halda $a_n \to \infty$ yazılır).
• $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$: hədlərin işarəsi dəyişsə də, onlar 0-a yaxınlaşır, limit 0-dır.

Faydalı faktlar:

• yığılan ardıcıllığın yalnız bir limiti var və belə ardıcıllıq məhduddur; tərsi doğru deyil: $(-1)^n$ məhduddur, amma yığılmır;
• monoton və məhdud ardıcıllığın limiti var (Veyerştrass teoremi). Məsələn, $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ ardıcıllığı artır və məhduddur, onun limiti $e \approx 2{,}718$ ədədidir.

Ən çox istifadə olunan limitlər:

• $\lim\limits_{n \to \infty} C = C$ (sabit ardıcıllıq);
• $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$, burada $k > 0$;
• $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 0$, burada $|q| < 1$.

$\lim a_n = A$ və $\lim b_n = B$ olarsa:

• $\lim (a_n \pm b_n) = A \pm B$;
• $\lim (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$, xüsusi halda $\lim (c \cdot a_n) = c \cdot A$;
• $\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$, əgər $B \ne 0$ və bütün $b_n \ne 0$.

Bu xassələr yalnız hər iki ardıcıllıq yığılan olduqda tətbiq edilir. $\frac{n^2 + 1}{n^2}$ kimi ifadədə surət də, məxrəc də sonsuz artır, ona görə əvvəlcə ifadəni çevirmək lazımdır: $1 + \frac{1}{n^2} \to 1$.

$n$-dən asılı çoxhədlilərin nisbətində surəti və məxrəci $n$-in ən böyük qüvvətinə bölürük, sonra $\frac{c}{n^k} \to 0$ olduğundan istifadə edirik:

Buradan qısa qayda alınır:

Məsələn, $\frac{n^2 + 1}{n + 1}$ kəsrinin surətini və məxrəcini $n$-ə bölsək, $\frac{n + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$ alınır: surət sonsuz artır, məxrəc isə 1-ə yaxınlaşır, ona görə sonlu limit yoxdur.

Üstlü ifadələrdə ən böyük əsaslı qüvvətə bölürük: $\frac{2^n + 3^n}{3^n} = \left(\frac{2}{3}\right)^n + 1 \to 1$.