Tərif və həll

$ax + by = c$ şəklində olan tənliyə ikidəyişənli xətti tənlik deyilir; burada $x$ və $y$ dəyişənlər, $a$ , $b$ , $c$ isə verilmiş ədədlərdir. Məsələn: $2x + 3y = 12$ , $x - y = 0$ , $5x - 2y = 1$ .

Tənliyi doğru bərabərliyə çevirən $(x; y)$ qiymətlər cütünə tənliyin həlli deyilir. Cütdə birinci yerdə həmişə $x$ , ikinci yerdə $y$ yazılır. Məsələn, $(3; 2)$ cütü $2x + 3y = 12$ tənliyinin həllidir, çünki $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$ . $(2; 3)$ cütü isə həll deyil: $2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 13 \ne 12$ .

Həllər niyə sonsuz saydadır

$b \ne 0$ olduqda $y$ -i $x$ ilə ifadə etmək olar: $y = \frac{c - ax}{b}$ . $x$ -ə istənilən qiymət verib uyğun $y$ -i tapırıq. $2x + 3y = 12$ üçün $y = \frac{12 - 2x}{3}$ :

$x$	$-3$	$0$	$3$	$6$
$y$	$6$	$4$	$2$	$0$

Deməli, $a$ və $b$ əmsallarından ən azı biri sıfırdan fərqlidirsə, tənliyin sonsuz sayda həlli var. Xüsusi hal: $0 \cdot x + 0 \cdot y = c$ tənliyinin $c = 0$ olduqda istənilən cüt həllidir, $c \ne 0$ olduqda isə həlli yoxdur.

Tənliyin qrafiki

Koordinatları tənliyin həlli olan bütün nöqtələr düz xətt əmələ gətirir ( $a$ və $b$ eyni zamanda sıfır olmadıqda). Düz xətti qurmaq üçün iki nöqtə kifayətdir; ən rahatı oxlarla kəsişmə nöqtələridir:

$x = 0$ yazsaq, $Oy$ oxu ilə kəsişmə nöqtəsi alınır;
$y = 0$ yazsaq, $Ox$ oxu ilə kəsişmə nöqtəsi alınır.

$2x + 3y = 12$ tənliyinin qrafiki $(0; 4)$ və $(6; 0)$ nöqtələrindən keçir. $b = 0$ olduqda qrafik şaquli $x = \frac{c}{a}$ düz xətti, $a = 0$ olduqda isə üfüqi $y = \frac{c}{b}$ düz xəttidir.

Nöqtə qrafikin üzərindədir o zaman və yalnız o zaman ki, onun koordinatları tənliyi ödəsin.

Natural həllər

Mətnli məsələlərdə dəyişənlər çox vaxt əşyaların sayını göstərir, ona görə yalnız natural həllər lazımdır. Natural ədədlər 1-dən başlayır.

Üsul belədir: bir dəyişəni digəri ilə ifadə et, hər iki dəyişənin müsbət olmasından istifadə edib mümkün qiymətləri məhdudlaşdır, qalan qiymətləri bir-bir yoxla. $a$ , $b$ , $c$ müsbət olduqda natural həllərin sayı sonludur və onları tam siyahı ilə yazmaq olar.

Yadda saxla

İkidəyişənli xətti tənlik: $ax + by = c$ ; həlli $(x; y)$ cütüdür, cütdə əvvəl $x$ yazılır.
$a$ və $b$ əmsallarından ən azı biri sıfırdan fərqlidirsə, həllər sonsuz saydadır və qrafik düz xətdir.
$b \ne 0$ olduqda $y = \frac{c - ax}{b}$ .
Oxlarla kəsişmə: $x = 0$ yazanda $Oy$ oxu, $y = 0$ yazanda $Ox$ oxu ilə kəsişmə nöqtəsi tapılır.
Nöqtə qrafikə yalnız koordinatları tənliyi ödədikdə aiddir.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
$(2; -1)$ cütü $ax + 3y = 7$ tənliyinin həllidir. $a$ -nı tapın, sonra $x = 5$ olduqda $y$ -in qiymətini hesablayın.
Həlli
1. $x = 2$ , $y = -1$ qiymətlərini yerinə yazırıq: $2a + 3 \cdot (-1) = 7$ , yəni $2a - 3 = 7$ , $2a = 10$ , $a = 5$ .
2. Tənlik belə olur: $5x + 3y = 7$ .
3. $x = 5$ olduqda: $25 + 3y = 7$ , $3y = -18$ , $y = -6$ .
4. Yoxlama: $5 \cdot 5 + 3 \cdot (-6) = 25 - 18 = 7$ . Doğrudur.
Cavab: $a = 5$ ; $y = -6$ .
Misal 2
$3x + 5y = 34$ tənliyinin natural ədədlərdə bütün həllərini tapın.
Həlli
1. $x$ -i ifadə edirik: $x = \frac{34 - 5y}{3}$ . $x$ natural olduğu üçün $34 - 5y > 0$ , yəni $5y < 34$ , $y \le 6$ .
2. $y = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ üçün $34 - 5y$ uyğun olaraq $29, 24, 19, 14, 9, 4$ olur.
3. Bunlardan 3-ə yalnız 24 və 9 bölünür: $y = 2$ olduqda $x = 8$ , $y = 5$ olduqda $x = 3$ .
4. Yoxlama: $3 \cdot 8 + 5 \cdot 2 = 34$ və $3 \cdot 3 + 5 \cdot 5 = 34$ .
Cavab: $(8; 2)$ və $(3; 5)$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Hansı cüt $2x - 3y = 6$ tənliyinin həllidir?
1. $(0; 2)$
2. $(3; 0)$
3. $(1; 1)$
4. $(-3; 0)$
5. $(2; 1)$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $(3; 0)$
$(3; 0)$ üçün $2 \cdot 3 - 3 \cdot 0 = 6$ , bərabərlik doğrudur. $(0; 2)$ üçün $0 - 6 = -6 \ne 6$ ; doğru cüt $(0; -2)$ olardı. Qalan cütlər də tənliyi ödəmir: $-1$ , $-6$ və $1$ alınır.
$4x + 5y = 20$ tənliyinin qrafiki $Oy$ oxunu hansı nöqtədə kəsir?
1. $(5; 0)$
2. $(0; 5)$
3. $(4; 0)$
4. $(0; 4)$
5. $(0; -4)$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $(0; 4)$
$Oy$ oxu üzərində $x = 0$ : $5y = 20$ , $y = 4$ . Nöqtə $(0; 4)$ -dür. $(5; 0)$ isə qrafikin $Ox$ oxu ilə kəsişmə nöqtəsidir.
$x + 2y = 11$ tənliyinin natural ədədlərdə neçə həlli var?
1. 3
2. 4
3. 5
4. 6
5. sonsuz sayda
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C 5
$x = 11 - 2y > 0$ olmalıdır, yəni $y \le 5$ . $y = 1, 2, 3, 4, 5$ üçün $x = 9, 7, 5, 3, 1$ alınır, hamısı naturaldır. Cəmi 5 həll var.

Tipik səhvlər

Cütdə dəyişənlərin yerini qarışdırmaq: $(x; y)$ cütündə birinci ədəd həmişə $x$ -in qiymətidir.
İkidəyişənli xətti tənliyin yalnız bir həlli olduğunu düşünmək; əslində həllər sonsuz saydadır.
Natural həlləri sayanda 0-ı da nəzərə almaq: natural ədədlər 1-dən başlayır.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et