Tənlik və kök

Dəyişəni olan bərabərliyə tənlik deyilir. Məsələn, $3x - 5 = 10$ tənliyində $x$ dəyişəndir (məchuldur).

Dəyişənin tənliyi doğru ədədi bərabərliyə çevirən qiymətinə tənliyin kökü deyilir. $x = 5$ olduqda $3 \cdot 5 - 5 = 10$ alınır: bərabərlik doğrudur, deməli, 5 kökdür. $x = 4$ olduqda isə $3 \cdot 4 - 5 = 7 \ne 10$ , deməli, 4 kök deyil.

Tənliyi həll etmək onun bütün köklərini tapmaq və ya kökünün olmadığını göstərmək deməkdir. Tapılan ədədi tənlikdə yerinə yazıb yoxlamaq kökü təsdiqləməyin ən etibarlı yoludur.

Tənliyin neçə kökü ola bilər

Tənliyin bir, bir neçə və ya sonsuz sayda kökü ola bilər, ya da heç kökü olmaya bilər:

Tənlik	Köklər
$2x = 6$	bir kök: $x = 3$
$x^2 = 9$	iki kök: $x = -3$ və $x = 3$
$x + 1 = x + 2$	kök yoxdur, çünki $1 = 2$ yalandır
$2(x + 1) = 2x + 2$	istənilən ədəd kökdür

Sadələşdirmədən sonra $0 \cdot x = b$ alınırsa: $b = 0$ olduqda istənilən ədəd kökdür, $b \ne 0$ olduqda isə kök yoxdur. Diqqət: $5x = 0$ tənliyinin kökü var və bu kök 0-dır. «Kök sıfırdır» və «kök yoxdur» fərqli cavablardır.

Naməlum komponentin tapılması

Sadə tənlikləri əməlin komponentləri arasındakı əlaqə ilə həll etmək olar:

naməlum toplanan = cəm − məlum toplanan;
naməlum azalan = çıxılan + fərq;
naməlum çıxılan = azalan − fərq;
naməlum vuruq = hasil : məlum vuruq;
naməlum bölünən = bölən $\cdot$ qismət;
naməlum bölən = bölünən : qismət.

Mürəkkəb tənlikdə bu qaydalar xaricdən daxilə doğru tətbiq edilir. Məsələn, $2(x + 4) = 18$ tənliyində əvvəl vuruğu tapırıq: $x + 4 = 18 : 2 = 9$ , sonra toplananı: $x = 9 - 4 = 5$ .

Dəyişənin mümkün qiymətləri (DMQ)

Bəzi ifadələr dəyişənin hər qiymətində məna kəsb etmir: kəsrin məxrəci sıfır ola bilməz, kvadrat kökün altındakı ifadə mənfi ola bilməz. Həll zamanı tapılan qiymət DMQ-yə daxil deyilsə, o, tənliyin kökü deyil.

Məsələn, $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$ . Kəsr yalnız surəti sıfır, məxrəci isə sıfırdan fərqli olduqda sıfıra bərabərdir. $x^2 - 4 = 0$ bərabərliyindən $x = 2$ və ya $x = -2$ alınır. Lakin $x = 2$ olduqda məxrəc sıfırdır, ona görə tənliyin yalnız bir kökü var: $x = -2$ .

Yadda saxla

Tənliyin kökü onu doğru ədədi bərabərliyə çevirən qiymətdir; yoxlamaq üçün ədədi tənlikdə yerinə yaz.
Tənliyi həll etmək bütün kökləri tapmaq və ya kökün olmadığını göstərmək deməkdir.
$0 \cdot x = 0$ olduqda istənilən ədəd kökdür; $0 \cdot x = b$ , $b \ne 0$ olduqda kök yoxdur.
Məxrəci sıfır edən qiymət tənliyin kökü ola bilməz: cavabı həmişə DMQ ilə yoxla.
« $x = m$ tənliyin köküdür» şərti verilibsə, $m$ -i tənlikdə yerinə yazıb parametri tap.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
$4(x - 3) + 7 = 23$ tənliyini həll edin və yoxlayın.
Həlli
1. $4(x - 3)$ naməlum toplanandır: $4(x - 3) = 23 - 7 = 16$ .
2. $x - 3$ naməlum vuruqdur: $x - 3 = 16 : 4 = 4$ .
3. $x$ naməlum azalandır: $x = 4 + 3 = 7$ .
4. Yoxlama: $4(7 - 3) + 7 = 16 + 7 = 23$ . Bərabərlik doğrudur.
Cavab: $x = 7$ .
Misal 2
$a$ -nın hansı qiymətində $x = -2$ ədədi $ax + 5 = 3x - a$ tənliyinin köküdür?
Həlli
1. $x = -2$ kök olduğu üçün onu tənlikdə yerinə yazırıq: $a \cdot (-2) + 5 = 3 \cdot (-2) - a$ .
2. Sadələşdiririk: $-2a + 5 = -6 - a$ .
3. $a$ olan hədləri bir tərəfə, ədədləri digər tərəfə keçiririk: $-2a + a = -6 - 5$ , yəni $-a = -11$ , $a = 11$ .
4. Yoxlama: sol tərəf $11 \cdot (-2) + 5 = -17$ , sağ tərəf $3 \cdot (-2) - 11 = -17$ . Bərabərdir.
Cavab: $a = 11$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Aşağıdakı ədədlərdən hansı $x^2 - 5x + 6 = 0$ tənliyinin köküdür?
1. $-2$
2. $1$
3. $2$
4. $4$
5. $6$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $2$
Yerinə yazırıq: $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ , bərabərlik doğrudur. Digər variantlarda sol tərəf sıfır alınmır, məsələn, $x = 1$ olduqda $1 - 5 + 6 = 2$ , $x = 4$ olduqda $16 - 20 + 6 = 2$ . Tənliyin ikinci kökü 3-dür, o, variantlarda yoxdur.
$\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 0$ tənliyini həll edin.
1. $-3$
2. $3$
3. $-3$ və $3$
4. $0$
5. kökü yoxdur
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $3$
Surət sıfır olmalıdır: $x^2 = 9$ , $x = \pm 3$ . $x = -3$ olduqda məxrəc $x + 3 = 0$ olur, bu qiymət DMQ-yə daxil deyil. Yalnız $x = 3$ qalır.
Hansı tənliyin sonsuz sayda kökü var?
1. $3(x - 2) = 3x - 6$
2. $2x + 1 = 2x - 1$
3. $5x = 0$
4. $x^2 = 0$
5. $x - 7 = 7 - x$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: A $3(x - 2) = 3x - 6$
A-da mötərizəni açanda $3x - 6 = 3x - 6$ alınır, yəni $0 \cdot x = 0$ : istənilən ədəd kökdür. B-də $1 = -1$ alınır, kök yoxdur. C və D-nin yeganə kökü 0, E-nin yeganə kökü 7-dir.

Tipik səhvlər

Məxrəcli tənlikdə DMQ-ni yoxlamamaq və məxrəci sıfır edən qiyməti də cavaba yazmaq.
«Kök 0-dır» ilə «kök yoxdur» cavablarını qarışdırmaq: $5x = 0$ tənliyinin kökü var, o da 0-dır.
$0 \cdot x = 0$ alınanda «kök yoxdur» yazmaq; əslində bu halda istənilən ədəd kökdür.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et