Уравнение и корень

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением. Например, в уравнении $3x - 5 = 10$ переменная (неизвестное) — это $x$ .

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. При $x = 5$ получаем $3 \cdot 5 - 5 = 10$ — верно, значит, 5 является корнем. При $x = 4$ получаем $3 \cdot 4 - 5 = 7 \ne 10$ , значит, 4 не корень.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Подстановка найденного числа в уравнение — самый надёжный способ проверки.

Сколько корней может быть

Уравнение может иметь один корень, несколько корней, бесконечно много корней или не иметь корней вовсе:

Уравнение	Корни
$2x = 6$	один корень: $x = 3$
$x^2 = 9$	два корня: $x = -3$ и $x = 3$
$x + 1 = x + 2$	корней нет, так как $1 = 2$ неверно
$2(x + 1) = 2x + 2$	корень — любое число

Если после упрощения получилось $0 \cdot x = b$ , то при $b = 0$ корнем является любое число, а при $b \ne 0$ корней нет. Внимание: у уравнения $5x = 0$ корень есть, и он равен 0. «Корень равен нулю» и «корней нет» — разные ответы.

Нахождение неизвестного компонента

Простые уравнения решают по связи между компонентами действий:

неизвестное слагаемое = сумма − известное слагаемое;
неизвестное уменьшаемое = вычитаемое + разность;
неизвестное вычитаемое = уменьшаемое − разность;
неизвестный множитель = произведение : известный множитель;
неизвестное делимое = делитель $\cdot$ частное;
неизвестный делитель = делимое : частное.

В сложном уравнении эти правила применяют «снаружи внутрь». Например, в уравнении $2(x + 4) = 18$ сначала находим множитель: $x + 4 = 18 : 2 = 9$ , затем слагаемое: $x = 9 - 4 = 5$ .

Область допустимых значений (ОДЗ)

Некоторые выражения имеют смысл не при всех значениях переменной: знаменатель дроби не может равняться нулю, подкоренное выражение квадратного корня не может быть отрицательным. Если найденное значение не входит в ОДЗ, оно не является корнем.

Например, $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$ . Дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Из $x^2 - 4 = 0$ получаем $x = 2$ или $x = -2$ . Но при $x = 2$ знаменатель обращается в ноль, поэтому у уравнения только один корень: $x = -2$ .

Запомните

Корень уравнения — значение, при котором получается верное числовое равенство; для проверки подставь число в уравнение.
Решить уравнение — найти все корни или доказать, что их нет.
$0 \cdot x = 0$ : корень — любое число; $0 \cdot x = b$ при $b \ne 0$ : корней нет.
Значение, обращающее знаменатель в ноль, не может быть корнем: всегда сверяй ответ с ОДЗ.
Если сказано, что $x = m$ — корень уравнения, подставь $m$ в уравнение и найди параметр.

Разобранные примеры

Пример 1
Решите уравнение $4(x - 3) + 7 = 23$ и выполните проверку.
Решение
1. $4(x - 3)$ — неизвестное слагаемое: $4(x - 3) = 23 - 7 = 16$ .
2. $x - 3$ — неизвестный множитель: $x - 3 = 16 : 4 = 4$ .
3. $x$ — неизвестное уменьшаемое: $x = 4 + 3 = 7$ .
4. Проверка: $4(7 - 3) + 7 = 16 + 7 = 23$ . Равенство верное.
Ответ: $x = 7$ .
Пример 2
При каком значении $a$ число $x = -2$ является корнем уравнения $ax + 5 = 3x - a$ ?
Решение
1. Так как $x = -2$ — корень, подставляем его в уравнение: $a \cdot (-2) + 5 = 3 \cdot (-2) - a$ .
2. Упрощаем: $-2a + 5 = -6 - a$ .
3. Слагаемые с $a$ переносим в одну сторону, числа в другую: $-2a + a = -6 - 5$ , то есть $-a = -11$ , $a = 11$ .
4. Проверка: левая часть $11 \cdot (-2) + 5 = -17$ , правая часть $3 \cdot (-2) - 11 = -17$ . Равны.
Ответ: $a = 11$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какое из чисел является корнем уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ ?
1. $-2$
2. $1$
3. $2$
4. $4$
5. $6$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $2$
Подставляем: $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ — верно. В остальных вариантах левая часть не равна нулю, например, при $x = 1$ получаем $1 - 5 + 6 = 2$ , при $x = 4$ получаем $16 - 20 + 6 = 2$ . Второй корень уравнения равен 3, его среди вариантов нет.
Решите уравнение $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 0$ .
1. $-3$
2. $3$
3. $-3$ и $3$
4. $0$
5. корней нет
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $3$
Числитель должен быть равен нулю: $x^2 = 9$ , $x = \pm 3$ . При $x = -3$ знаменатель $x + 3 = 0$ , это значение не входит в ОДЗ. Остаётся только $x = 3$ .
Какое уравнение имеет бесконечно много корней?
1. $3(x - 2) = 3x - 6$
2. $2x + 1 = 2x - 1$
3. $5x = 0$
4. $x^2 = 0$
5. $x - 7 = 7 - x$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $3(x - 2) = 3x - 6$
В A после раскрытия скобок получаем $3x - 6 = 3x - 6$ , то есть $0 \cdot x = 0$ : подходит любое число. В B получается $1 = -1$ , корней нет. У C и D единственный корень 0, у E единственный корень 7.

Типичные ошибки

Не проверять ОДЗ в уравнении со знаменателем и записывать в ответ значение, обращающее знаменатель в ноль.
Путать ответы «корень равен 0» и «корней нет»: у уравнения $5x = 0$ корень есть, и он равен 0.
Писать «корней нет», когда получилось $0 \cdot x = 0$ ; на самом деле корнем является любое число.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото