Определение

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными: каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот. Два уравнения, не имеющие корней, тоже считаются равносильными.

$2x - 6 = 0$ и $x = 3$ равносильны: у каждого единственный корень 3.
$x^2 = 9$ и $|x| = 3$ равносильны: у обоих корни $-3$ и $3$ .
$x^2 + 1 = 0$ и $|x| = -2$ равносильны: ни одно не имеет корней.
$x^2 = 9$ и $x = 3$ не равносильны: корень $-3$ первого уравнения не является корнем второго.

Чтобы проверить равносильность, находим множества корней обоих уравнений и сравниваем их.

Преобразования, сохраняющие корни

Следующие преобразования заменяют уравнение равносильным:

Перенос слагаемого из одной части в другую с противоположным знаком: из $5x - 4 = 2x + 8$ получаем $5x - 2x = 8 + 4$ .
Умножение или деление обеих частей на одно и то же число, отличное от нуля: умножив $\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 5$ на 6, получаем $2x + 3x = 30$ .
Замена выражения в одной из частей тождественно равным выражением, если при этом не меняется область допустимых значений (ОДЗ): из $2(x + 1) = 10$ получаем $2x + 2 = 10$ .

Решение линейного уравнения состоит только из таких шагов, поэтому там корни не теряются и посторонние корни не появляются.

Потеря корней

Деление обеих частей на выражение с переменной не является равносильным преобразованием: это выражение может обращаться в нуль. Если разделить $x^2 = 5x$ на $x$ , получим $x = 5$ , а корень $x = 0$ потеряется.

Правильный путь: перенести всё в одну часть и разложить на множители: $x^2 - 5x = 0$ , $x(x - 5) = 0$ , откуда $x = 0$ или $x = 5$ .

Правило: произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (а остальные при этом имеют смысл). Пользуйтесь им вместо деления на выражение с переменной.

Посторонние корни и проверка

Некоторые преобразования расширяют ОДЗ, и у нового уравнения могут появиться посторонние корни, то есть числа, которые не являются корнями исходного уравнения:

Сокращение дроби или умножение на знаменатель. Из $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$ получаем $x + 1 = 2$ , $x = 1$ , но при $x = 1$ знаменатель равен нулю. Значит, уравнение корней не имеет.
Возведение обеих частей в квадрат. Уравнение $x = 3$ имеет один корень, а $x^2 = 9$ имеет два: $3$ и $-3$ .

После таких преобразований новое уравнение сохраняет все корни исходного, но может дать лишние. Поэтому в конце обязательна проверка: каждое найденное число должно входить в ОДЗ и удовлетворять исходному уравнению.

Запомните

Равносильны уравнения с одинаковыми корнями, а также уравнения, которые оба не имеют корней.
Перенос слагаемого с противоположным знаком, умножение и деление обеих частей на число, не равное нулю, дают равносильное уравнение.
Деление на выражение с переменной может привести к потере корней: вместо деления раскладывайте на множители, $ab = 0$ тогда, когда $a = 0$ или $b = 0$ .
Умножение на знаменатель, сокращение дроби и возведение в квадрат могут дать посторонние корни: отсеивайте их по ОДЗ и проверкой.

Разобранные примеры

Пример 1
Решая уравнение $(x - 2)(x + 3) = 4(x - 2)$ , ученик разделил обе части на $x - 2$ и получил ответ $x = 1$ . Найдите ошибку и решите уравнение правильно.
Решение
1. Делить на $x - 2$ можно только при $x \ne 2$ , поэтому случай $x = 2$ был упущен.
2. Переносим всё в левую часть: $(x - 2)(x + 3) - 4(x - 2) = 0$ .
3. Выносим общий множитель за скобки: $(x - 2)(x + 3 - 4) = 0$ , то есть $(x - 2)(x - 1) = 0$ .
4. $x - 2 = 0$ или $x - 1 = 0$ , откуда $x = 2$ или $x = 1$ .
5. Проверка: при $x = 2$ имеем $0 \cdot 5 = 4 \cdot 0$ ; при $x = 1$ имеем $(-1) \cdot 4 = 4 \cdot (-1)$ . Оба равенства верны.
Ответ: $1$ и $2$ ; ученик потерял корень $x = 2$ .
Пример 2
Решите уравнение $\frac{x^2 - 3x}{x - 3} = x^2 - 6$ .
Решение
1. ОДЗ: $x \ne 3$ .
2. Раскладываем числитель: $x^2 - 3x = x(x - 3)$ . При $x \ne 3$ дробь можно сократить: $x = x^2 - 6$ .
3. $x^2 - x - 6 = 0$ , то есть $(x - 3)(x + 2) = 0$ , откуда $x = 3$ или $x = -2$ .
4. $x = 3$ не входит в ОДЗ: это посторонний корень.
5. Проверка для $x = -2$ : левая часть $\frac{4 + 6}{-5} = -2$ , правая часть $4 - 6 = -2$ . Верно.
Ответ: $x = -2$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какое уравнение равносильно уравнению $2x + 5 = 11$ ?
1. $3x - 1 = 8$
2. $x^2 = 9$
3. $x^2 = 3x$
4. $2x = 16$
5. $\frac{x - 3}{x - 3} = 1$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $3x - 1 = 8$
Уравнение $2x + 5 = 11$ имеет единственный корень $x = 3$ . У уравнения $3x - 1 = 8$ тоже единственный корень 3. У $x^2 = 9$ корни $\pm 3$ , у $x^2 = 3x$ корни $0$ и $3$ , у $2x = 16$ корень 8, а уравнению $\frac{x - 3}{x - 3} = 1$ удовлетворяют все числа, кроме 3.
Какое преобразование может привести к потере корня уравнения?
1. прибавление 7 к обеим частям
2. умножение обеих частей на $-2$
3. перенос слагаемого в другую часть с противоположным знаком
4. деление обеих частей на выражение $x - 1$
5. деление обеих частей на 5
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D деление обеих частей на выражение $x - 1$
При $x = 1$ выражение $x - 1$ равно нулю, а делить на нуль нельзя. Если $x = 1$ был корнем уравнения, после деления он пропадёт. Остальные преобразования — это перенос слагаемого или действия с числом, не равным нулю, поэтому они равносильные.
Какая пара уравнений равносильна?
1. $x^2 = 4$ и $x = 2$
2. $x^2 = x$ и $x = 1$
3. $|x| = 3$ и $x^2 = 9$
4. $\frac{x^2}{x} = 0$ и $x = 0$
5. $x^2 + 1 = 0$ и $x + 1 = 0$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $|x| = 3$ и $x^2 = 9$
У каждого из уравнений $|x| = 3$ и $x^2 = 9$ корни $-3$ и $3$ . В паре A у первого уравнения лишний корень $-2$ , в паре B лишний корень $0$ . В паре D первое уравнение не имеет корней ( $x = 0$ не входит в ОДЗ), а у второго корень 0. В паре E первое уравнение не имеет корней, а у второго корень $-1$ .

Типичные ошибки

Делить обе части уравнения на выражение с переменной и терять корень, при котором это выражение равно нулю.
После сокращения дроби или умножения на знаменатель забывать про ОДЗ и записывать в ответ посторонний корень, обращающий знаменатель в нуль.
Считать равносильными уравнения $x^2 = 4$ и $x = 2$ , то есть терять корень $-2$ при извлечении квадратного корня.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото