Tərif

Kökləri eyni olan tənliklərə eynigüclü tənliklər deyilir: birinci tənliyin hər kökü ikincinin də köküdür və tərsinə. Kökü olmayan iki tənlik də eynigüclü sayılır.

$2x - 6 = 0$ və $x = 3$ eynigüclüdür: hər birinin yeganə kökü 3-dür.
$x^2 = 9$ və $|x| = 3$ eynigüclüdür: hər ikisinin kökləri $-3$ və $3$ -dür.
$x^2 + 1 = 0$ və $|x| = -2$ eynigüclüdür: heç birinin kökü yoxdur.
$x^2 = 9$ və $x = 3$ eynigüclü deyil: birincinin $-3$ kökü ikincinin kökü deyil.

Eynigüclülüyü yoxlamaq üçün hər iki tənliyin köklər çoxluğunu tapıb müqayisə edirik.

Kökləri saxlayan çevirmələr

Aşağıdakı çevirmələr tənliyi ona eynigüclü tənliklə əvəz edir:

Toplananı bir tərəfdən digər tərəfə əks işarə ilə keçirmək: $5x - 4 = 2x + 8$ tənliyindən $5x - 2x = 8 + 4$ alınır.
Hər iki tərəfi sıfırdan fərqli eyni ədədə vurmaq və ya bölmək: $\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 5$ tənliyini 6-ya vurub $2x + 3x = 30$ alırıq.
Tərəflərdən birindəki ifadəni ona eynilikcə bərabər ifadə ilə əvəz etmək, əgər bu zaman dəyişənin mümkün qiymətləri (DMQ) dəyişmirsə: $2(x + 1) = 10$ tənliyindən $2x + 2 = 10$ alınır.

Xətti tənliyin həlli yalnız bu çevirmələrdən ibarətdir, ona görə orada kök itmir və kənar kök yaranmır.

Köklərin itirilməsi

Hər iki tərəfi dəyişəni olan ifadəyə bölmək eynigüclü çevirmə deyil, çünki həmin ifadə sıfır ola bilər. $x^2 = 5x$ tənliyini $x$ -ə bölsək, $x = 5$ alarıq və $x = 0$ kökü itər.

Düzgün yol hər şeyi bir tərəfə keçirib vuruqlara ayırmaqdır: $x^2 - 5x = 0$ , $x(x - 5) = 0$ , buradan $x = 0$ və ya $x = 5$ .

Qayda: hasil o zaman və yalnız o zaman sıfıra bərabərdir ki, vuruqlardan ən azı biri sıfır olsun, digərləri isə məna kəsb etsin. Dəyişənli ifadəyə bölmək əvəzinə bu qaydadan istifadə edin.

Kənar köklər və yoxlama

Bəzi çevirmələr DMQ-ni genişləndirir və yeni tənlikdə kənar köklər, yəni ilk tənliyin kökü olmayan ədədlər yarana bilər:

Kəsri ixtisar etmək və ya tənliyi məxrəcə vurmaq. $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$ tənliyindən $x + 1 = 2$ , $x = 1$ alınır, amma $x = 1$ olduqda məxrəc sıfırdır. Deməli, tənliyin kökü yoxdur.
Tərəfləri kvadrata yüksəltmək. $x = 3$ tənliyinin bir kökü var, $x^2 = 9$ tənliyinin isə iki: $3$ və $-3$ .

Belə çevirmədən sonra alınan tənlik ilk tənliyin bütün köklərini saxlayır, amma artıq kök də verə bilər. Ona görə sonda mütləq yoxlama aparılır: hər tapılan ədəd DMQ-yə daxil olmalı və ilk tənliyi ödəməlidir.

Yadda saxla

Kökləri eyni olan tənliklər, həmçinin hər ikisinin kökü olmayan tənliklər eynigüclüdür.
Toplananı əks işarə ilə keçirmək, tərəfləri sıfırdan fərqli ədədə vurmaq və ya bölmək eynigüclü çevirmələrdir.
Dəyişənli ifadəyə bölmək kök itirə bilər: bölmək əvəzinə vuruqlara ayırın, $ab = 0$ olduqda $a = 0$ və ya $b = 0$ .
Məxrəcə vurmaq, kəsri ixtisar etmək və kvadrata yüksəltmək kənar kök verə bilər: cavabı DMQ və yoxlama ilə süzün.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
$(x - 2)(x + 3) = 4(x - 2)$ tənliyini həll edərkən şagird hər iki tərəfi $x - 2$ -yə bölüb $x = 1$ cavabını aldı. Səhvi tapın və tənliyi düzgün həll edin.
Həlli
1. $x - 2$ -yə bölmək yalnız $x \ne 2$ olduqda mümkündür, ona görə $x = 2$ halı nəzərdən qaçıb.
2. Hər şeyi sol tərəfə keçiririk: $(x - 2)(x + 3) - 4(x - 2) = 0$ .
3. Ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarırıq: $(x - 2)(x + 3 - 4) = 0$ , yəni $(x - 2)(x - 1) = 0$ .
4. $x - 2 = 0$ və ya $x - 1 = 0$ , buradan $x = 2$ və ya $x = 1$ .
5. Yoxlama: $x = 2$ üçün $0 \cdot 5 = 4 \cdot 0$ ; $x = 1$ üçün $(-1) \cdot 4 = 4 \cdot (-1)$ . Hər iki bərabərlik doğrudur.
Cavab: $1$ və $2$ ; şagird $x = 2$ kökünü itirib.
Misal 2
$\frac{x^2 - 3x}{x - 3} = x^2 - 6$ tənliyini həll edin.
Həlli
1. DMQ: $x \ne 3$ .
2. Surəti vuruqlara ayırırıq: $x^2 - 3x = x(x - 3)$ . $x \ne 3$ olduqda kəsri ixtisar etmək olar: $x = x^2 - 6$ .
3. $x^2 - x - 6 = 0$ , yəni $(x - 3)(x + 2) = 0$ , buradan $x = 3$ və ya $x = -2$ .
4. $x = 3$ DMQ-yə daxil deyil: bu, kənar kökdür.
5. Yoxlama $x = -2$ üçün: sol tərəf $\frac{4 + 6}{-5} = -2$ , sağ tərəf $4 - 6 = -2$ . Doğrudur.
Cavab: $x = -2$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Hansı tənlik $2x + 5 = 11$ tənliyi ilə eynigüclüdür?
1. $3x - 1 = 8$
2. $x^2 = 9$
3. $x^2 = 3x$
4. $2x = 16$
5. $\frac{x - 3}{x - 3} = 1$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: A $3x - 1 = 8$
$2x + 5 = 11$ tənliyinin yeganə kökü $x = 3$ -dür. $3x - 1 = 8$ tənliyinin də yeganə kökü 3-dür. $x^2 = 9$ tənliyinin kökləri $\pm 3$ , $x^2 = 3x$ tənliyinin kökləri $0$ və $3$ -dür, $2x = 16$ tənliyinin kökü 8-dir, $\frac{x - 3}{x - 3} = 1$ tənliyini isə 3-dən başqa bütün ədədlər ödəyir.
Hansı çevirmə tənliyin kökünü itirə bilər?
1. hər iki tərəfə 7 əlavə etmək
2. hər iki tərəfi $-2$ -yə vurmaq
3. toplananı əks işarə ilə digər tərəfə keçirmək
4. hər iki tərəfi $x - 1$ ifadəsinə bölmək
5. hər iki tərəfi 5-ə bölmək
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D hər iki tərəfi $x - 1$ ifadəsinə bölmək
$x = 1$ olduqda $x - 1$ ifadəsi sıfırdır, sıfıra isə bölmək olmaz. Əgər $x = 1$ tənliyin kökü idisə, bölmədən sonra o itir. Qalan çevirmələr ya toplananın köçürülməsidir, ya da sıfırdan fərqli ədədlə aparılır, ona görə eynigüclüdür.
Hansı tənliklər cütü eynigüclüdür?
1. $x^2 = 4$ və $x = 2$
2. $x^2 = x$ və $x = 1$
3. $|x| = 3$ və $x^2 = 9$
4. $\frac{x^2}{x} = 0$ və $x = 0$
5. $x^2 + 1 = 0$ və $x + 1 = 0$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $|x| = 3$ və $x^2 = 9$
$|x| = 3$ və $x^2 = 9$ tənliklərinin hər birinin kökləri $-3$ və $3$ -dür. A-da $-2$ , B-də $0$ birinci tənliyin artıq köküdür. D-də birinci tənliyin kökü yoxdur ( $x = 0$ DMQ-yə daxil deyil), ikincinin kökü isə 0-dır. E-də birinci tənliyin kökü yoxdur, ikincinin kökü $-1$ -dir.

Tipik səhvlər

Tənliyin hər iki tərəfini dəyişənli ifadəyə bölmək və bu ifadəni sıfır edən kökü itirmək.
Kəsri ixtisar etdikdən və ya məxrəcə vurduqdan sonra DMQ-ni unutmaq və məxrəci sıfır edən kənar kökü cavaba yazmaq.
$x^2 = 4$ və $x = 2$ tənliklərini eynigüclü saymaq, yəni kvadrat kök alanda $-2$ kökünü unutmaq.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et