Sistem və onun həlli

\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

şəklindəki yazılış ikidəyişənli xətti tənliklər sistemidir. Fiqurlu mötərizə tənliklərin eyni zamanda ödənməli olduğunu göstərir.

Hər iki tənliyi doğru bərabərliyə çevirən $(x; y)$ cütünə sistemin həlli deyilir. Məsələn, $(3; 2)$ cütü $\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$ sisteminin həllidir: $3 + 4 = 7$ və $9 - 2 = 7$ . Yalnız bir tənliyi ödəyən cüt sistemin həlli deyil.

Sistemi həll etmək onun bütün həllərini tapmaq və ya həllinin olmadığını göstərmək deməkdir.

Əvəzetmə üsulu

Tənliklərdən birində bir dəyişəni digəri ilə ifadə edirik. Əmsalı $1$ və ya $-1$ olan dəyişəni seçmək rahatdır.
Alınan ifadəni digər tənlikdə yerinə yazırıq və birdəyişənli tənlik alırıq.
Bu tənliyi həll edib bir dəyişəni tapırıq, sonra ikinci dəyişəni hesablayırıq.

Yuxarıdakı sistemdə birinci tənlikdən $x = 7 - 2y$ . İkinci tənliyə yazırıq: $3(7 - 2y) - y = 7$ , $21 - 7y = 7$ , $y = 2$ . Onda $x = 7 - 4 = 3$ . Həll: $(3; 2)$ .

Toplama üsulu

Tənlikləri elə ədədlərə vururuq ki, dəyişənlərdən birinin əmsalları əks ədədlər olsun. Sonra tənlikləri tərəf-tərəfə toplayırıq və həmin dəyişən yox olur.

Nümunə: $\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 5x - 6y = 21 \end{cases}$ . $y$ -in əmsallarını $12$ və $-12$ etmək üçün birinci tənliyi 3-ə, ikincini 2-yə vururuq:

\begin{cases} 9x + 12y = 15 \\ 10x - 12y = 42 \end{cases}

Toplayırıq: $19x = 57$ , $x = 3$ . Birinci tənlikdən $9 + 4y = 5$ , $y = -1$ . Həll: $(3; -1)$ .

Dəyişənin əmsalları artıq bərabərdirsə, tənlikləri tərəf-tərəfə çıxmaq da olar. Dəyişəni yox etdikdən sonra $0 = 0$ alınırsa, sistemin həlləri sonsuz saydadır; $0 = c$ ( $c \ne 0$ ) kimi yalan bərabərlik alınırsa, sistemin həlli yoxdur.

Hansı üsulu seçmək? Dəyişənlərdən birinin əmsalı $1$ və ya $-1$ -dirsə, əvəzetmə üsulu daha qısadır. Əmsallar böyükdürsə, toplama üsulu hesablamanı sadələşdirir. Kəsr əmsallı tənliyi əvvəlcə məxrəclərin ən kiçik ortaq bölünənə vurub tam əmsallı tənliyə çevirmək faydalıdır.

Qrafik üsul və həllərin sayı

Hər tənliyin qrafiki düz xətdir. Sistemin həlli bu iki düz xəttin ortaq nöqtəsinin koordinatlarıdır. Üç hal mümkündür:

Düz xətlər	Həllərin sayı	Əmsallar üçün şərt
kəsişir	bir həll	$\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$
paraleldir	həll yoxdur	$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$
üst-üstə düşür	sonsuz sayda həll	$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

Nisbətlər məxrəclər sıfırdan fərqli olduqda yazılır. Məsələn, $\begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 4x - 6y = 12 \end{cases}$ sistemində ikinci tənlik birincinin 2 mislidir: düz xətlər üst-üstə düşür və həllər sonsuz saydadır.

Qrafik üsul əyanidir, amma koordinatlar kəsr olanda dəqiq deyil. Ona görə cavab cəbri üsulla təsdiqlənir.

Yadda saxla

Sistemin həlli hər iki tənliyi eyni zamanda ödəyən $(x; y)$ cütüdür.
Əvəzetmə üsulu: bir dəyişəni ifadə et və digər tənlikdə yerinə yaz.
Toplama üsulu: tənlikləri elə ədədlərə vur ki, bir dəyişənin əmsalları əks ədədlər olsun, sonra topla.
$\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$ olduqda bir həll var; $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ olduqda həll yoxdur; üç nisbət bərabər olduqda həllər sonsuz saydadır.
Tapılan cütü hər iki tənlikdə yoxlayın.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Sistemi həll edin: $\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Həlli
1. Birinci tənliyi 6-ya vurub kəsrlərdən azad edirik: $3x + 2y = 18$ .
2. İkinci tənlikdən $x = y + 1$ .
3. Birinci tənlikdə yerinə yazırıq: $3(y + 1) + 2y = 18$ , $5y + 3 = 18$ , $y = 3$ .
4. $x = 3 + 1 = 4$ .
5. Yoxlama: $\frac{4}{2} + \frac{3}{3} = 2 + 1 = 3$ və $4 - 3 = 1$ . Doğrudur.
Cavab: $(4; 3)$ .
Misal 2
$\begin{cases} 4x + 3y = -1 \\ 6x - 5y = 27 \end{cases}$ sisteminin həlli $(x_0; y_0)$ olarsa, $x_0 \cdot y_0$ hasilini tapın.
Həlli
1. $x$ -in əmsallarını bərabərləşdiririk: birinci tənliyi 3-ə, ikincini 2-yə vururuq: $12x + 9y = -3$ və $12x - 10y = 54$ .
2. Birinci tənlikdən ikincini tərəf-tərəfə çıxırıq: $9y - (-10y) = -3 - 54$ , yəni $19y = -57$ , $y = -3$ .
3. $4x + 3 \cdot (-3) = -1$ , $4x = 8$ , $x = 2$ .
4. Yoxlama: $6 \cdot 2 - 5 \cdot (-3) = 12 + 15 = 27$ . Doğrudur.
5. $x_0 \cdot y_0 = 2 \cdot (-3) = -6$ .
Cavab: $-6$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

$\begin{cases} y = 2x - 5 \\ 3x + 2y = 18 \end{cases}$ sisteminin həlli $(x_0; y_0)$ olarsa, $x_0 - y_0$ fərqini tapın.
1. $-1$
2. $1$
3. $7$
4. $2$
5. $12$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $1$
$y$ ifadəsini ikinci tənlikdə yerinə yazaq: $3x + 2(2x - 5) = 18$ , $7x - 10 = 18$ , $x = 4$ . Onda $y = 8 - 5 = 3$ . Yoxlama: $3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 18$ . Deməli, $x_0 - y_0 = 4 - 3 = 1$ .
$(2; -1)$ cütü $\begin{cases} ax + 3y = 5 \\ 4x + by = 10 \end{cases}$ sisteminin həllidir. $a + b$ cəmini tapın.
1. $-2$
2. $0$
3. $4$
4. $2$
5. $6$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $2$
$x = 2$ , $y = -1$ qiymətlərini yerinə yazaq. Birinci tənlik: $2a - 3 = 5$ , $a = 4$ . İkinci tənlik: $8 - b = 10$ , $b = -2$ . Deməli, $a + b = 4 + (-2) = 2$ .
$\begin{cases} 5x + 3y = 23 \\ 3x + 5y = 17 \end{cases}$ sisteminin həlli $(x_0; y_0)$ olarsa, $x_0 + y_0$ cəmini tapın.
1. $3$
2. $4$
3. $5$
4. $6$
5. $8$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $5$
Tənlikləri tərəf-tərəfə toplayaq: $8x + 8y = 40$ , buradan $x + y = 5$ . Sistemi tam həll etməyə ehtiyac yoxdur. Yoxlamaq üçün tənlikləri çıxaq: $2x - 2y = 6$ , $x - y = 3$ ; onda $x = 4$ , $y = 1$ , və həqiqətən $5 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 23$ , $3 \cdot 4 + 5 \cdot 1 = 17$ .

Tipik səhvlər

Bir tənlikdən ifadə olunan dəyişəni yenidən həmin tənliyə yazmaq: $0 = 0$ kimi heç nə verməyən bərabərlik alınır. İfadəni digər tənliyə yazmaq lazımdır.
Tənliyi ədədə vurarkən yalnız sol tərəfi vurmaq, sağ tərəfdəki sərbəst həddi unutmaq.
Yalnız bir dəyişəni tapıb cavab kimi yazmaq: sistemin həlli $(x; y)$ cütüdür.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et