Eyni əsasa gətirmə

Hər tənliyin iki tərəfini eyni əsaslı qüvvət kimi yazın və $a^{f} = a^{g} \iff f = g$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ ) xassəsini tətbiq edin. Onda sistem üstlər üçün adi xətti sistemə çevrilir. Məsələn,

\begin{cases} 5^{x + y} = 125, \\ 2^{x - y} = \frac{1}{2} \end{cases} \iff \begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = -1. \end{cases}

Tənlikləri toplasaq, $2x = 2$ , yəni $x = 1$ , sonra $y = 2$ . Cavab: $(1; 2)$ .

Tənlikləri vurmaq və bölmək

Tənliklərdə müxtəlif əsaslar qarışıqdırsa, onları tərəf-tərəfə vurmaq və ya bölmək çox vaxt kömək edir, çünki $a^x b^x = (ab)^x$ . Məsələn,

\begin{cases} 2^x \cdot 3^y = 12, \\ 2^y \cdot 3^x = 18. \end{cases}

Tənlikləri vurduqda $2^{x + y} \cdot 3^{x + y} = 216$ , yəni $6^{x + y} = 6^3$ və $x + y = 3$ .

Birincini ikinciyə böldükdə $2^{x - y} \cdot 3^{y - x} = \frac{12}{18}$ , yəni $\left(\frac{2}{3}\right)^{x - y} = \frac{2}{3}$ və $x - y = 1$ .

Buradan $x = 2$ , $y = 1$ . Yoxlama: $2^2 \cdot 3 = 12$ , $2 \cdot 3^2 = 18$ .

Yeni dəyişənlər

Tənliklərdə $a^x$ və $b^y$ qüvvətləri toplanır və ya çıxılırsa, $u = a^x$ , $v = b^y$ işarə edin. Qüvvətlər həmişə müsbət olduğundan $u > 0$ , $v > 0$ şərti yazılır.

Məsələn, $2^x + 3^y = 17$ və $2^{x + 2} - 3^{y + 1} = 5$ sistemində $2^{x + 2} = 4u$ , $3^{y + 1} = 3v$ olur:

\begin{cases} u + v = 17, \\ 4u - 3v = 5. \end{cases}

Birinci tənlikdən $v = 17 - u$ . İkinciyə yazsaq, $4u - 51 + 3u = 5$ , $7u = 56$ , $u = 8$ və $v = 9$ . Deməli, $2^x = 8$ , $3^y = 9$ , yəni $(x; y) = (3; 2)$ .

Xətti tənlik və üstlü tənlik birlikdə

Sistemin bir tənliyi xəttidirsə ( $x + y = 5$ , $x - y = 2$ və s.), ondan bir dəyişəni ifadə edib digər tənlikdə yerinə qoymaq olar.

$x + y$ məlum olduqda cəm və hasil üsulu daha rahatdır. $u = a^x$ , $v = a^y$ götürsək, $uv = a^{x + y}$ məlum ədəd olur, $u + v$ isə ikinci tənlikdən alınır. Onda Viyet teoreminə görə $u$ və $v$ kvadrat tənliyin kökləridir.

Hər iki halda alınan $u$ , $v$ qiymətlərindən mənfi və ya sıfır olanlar atılır: məsələn, $2^x = -4$ tənliyinin həlli yoxdur.

Yadda saxla

$a^{f} = a^{g} \iff f = g$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ ): eyni əsaslı sistem üstlər üçün adi sistemə çevrilir.
Müxtəlif əsaslar qarışıqdırsa, tənlikləri vurun və ya bölün: $a^x b^x = (ab)^x$ .
$u = a^x$ , $v = b^y$ əvəzləməsində $u > 0$ , $v > 0$ şərti mütləqdir.
$x + y$ məlumdursa, $a^x \cdot a^y = a^{x + y}$ olduğundan cəm və hasil üsulunu tətbiq edin.
Tapılan cavabı hər iki tənlikdə yoxlayın.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Sistemi həll edin:

$\begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 128, \\ 3^{x - y} = 3. \end{cases}$
Həlli
1. $4^y = 2^{2y}$ və $128 = 2^7$ olduğundan birinci tənlik $2^{x + 2y} = 2^7$ , yəni $x + 2y = 7$ olur.
2. İkinci tənlikdən $x - y = 1$ .
3. Birinci tənlikdən ikincini çıxırıq: $3y = 6$ , $y = 2$ ; onda $x = 3$ .
Yoxlama: $2^3 \cdot 4^2 = 8 \cdot 16 = 128$ , $3^{3 - 2} = 3$ .

Cavab: $(3; 2)$ .
Misal 2
Sistemi həll edin:

$\begin{cases} x + y = 5, \\ 2^x + 2^y = 12. \end{cases}$
Həlli
$u = 2^x > 0$ , $v = 2^y > 0$ işarə edək. Onda $uv = 2^{x + y} = 2^5 = 32$ və $u + v = 12$ .

Viyet teoreminə görə $u$ və $v$ ədədləri $t^2 - 12t + 32 = 0$ tənliyinin kökləridir: $t_1 = 4$ , $t_2 = 8$ . Hər iki kök müsbətdir.
- $u = 4$ , $v = 8$ olduqda $x = 2$ , $y = 3$ ;
- $u = 8$ , $v = 4$ olduqda $x = 3$ , $y = 2$ .
Yoxlama: $2 + 3 = 5$ , $2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12$ .

Cavab: $(2; 3)$ və $(3; 2)$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

$\begin{cases} 3^{x + y} = 81, \\ 2^{x - y} = \frac{1}{4} \end{cases}$ sisteminin həlli $(x_0; y_0)$ olarsa, $x_0 \cdot y_0$ hasilini tapın.
1. $-3$
2. $1$
3. $2$
4. $3$
5. $4$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $3$
$81 = 3^4$ və $\frac{1}{4} = 2^{-2}$ , deməli, $x + y = 4$ və $x - y = -2$ . Toplasaq, $2x = 2$ , $x = 1$ , onda $y = 3$ . Hasil: $1 \cdot 3 = 3$ .
$\begin{cases} 3^{x + 1} - 2^y = 19, \\ 3^x + 2^{y + 1} = 25 \end{cases}$ sisteminin həlli $(x_0; y_0)$ olarsa, $x_0 + y_0$ cəmini tapın.
1. $3$
2. $4$
3. $5$
4. $6$
5. $7$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $5$
$u = 3^x$ , $v = 2^y$ işarə edək: $3u - v = 19$ , $u + 2v = 25$ . Birincidən $v = 3u - 19$ ; ikinciyə yazsaq, $u + 6u - 38 = 25$ , $u = 9$ , $v = 8$ . Deməli, $x = 2$ , $y = 3$ və $x_0 + y_0 = 5$ .
$\begin{cases} x - y = 2, \\ 3^x + 3^y = 30 \end{cases}$ sisteminin həlli $(x_0; y_0)$ olarsa, $x_0 + y_0$ cəmini tapın.
1. $2$
2. $4$
3. $5$
4. $6$
5. $8$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $4$
$x = y + 2$ olduğundan $3^{y + 2} + 3^y = 9 \cdot 3^y + 3^y = 10 \cdot 3^y = 30$ . Buradan $3^y = 3$ , $y = 1$ , $x = 3$ və cəm $4$ olur.

Tipik səhvlər

Əvəzləmədən sonra alınan mənfi köklərdən də $x$ tapmağa çalışmaq. $u = a^x$ həmişə müsbətdir, $u \le 0$ olan qiymətlər atılır.
Qüvvətləri toplayanda üstləri toplamaq: $2^x + 2^y = 2^{x + y}$ yazmaq. Üstlər yalnız vurmada toplanır: $2^x \cdot 2^y = 2^{x + y}$ .
Əsasları eyniləşdirmədən üstləri bərabərləşdirmək: $2^x \cdot 4^y = 128$ tənliyindən $x + y = 7$ yazmaq. Əvvəlcə $4^y = 2^{2y}$ olduğunu nəzərə almaq lazımdır.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et