Üstlü tənliklər və onların həll üsulları

$a^x = b$ ($a > 0$, $a \neq 1$) tənliyinə baxaq. $a^x$ həmişə müsbət olduğundan:

• $b \le 0$ olduqda tənliyin həlli yoxdur (məsələn, $2^x = -4$);
• $b > 0$ olduqda yeganə kök var: $x = \log_a b$.

Əgər $b$ ədədi $a$ əsaslı qüvvət kimi yazılırsa, loqarifmə ehtiyac qalmır: $5^x = \frac{1}{25} = 5^{-2} \Rightarrow x = -2$.

Bütün üsulların əsasında bu qayda durur: üstlü funksiya monoton olduğundan

Eyni əsasa gətirmə. Hər iki tərəfi eyni əsaslı qüvvət kimi yazırıq:

Ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarma. Əsasları eyni, üstləri isə sabit ədəd qədər fərqlənən qüvvətlər varsa, üstü ən kiçik olan qüvvəti mötərizə xaricinə çıxarırıq ($a^{x+k} = a^x \cdot a^k$):

Tənlikdə $a^{2x}$ və $a^x$ birlikdə iştirak edirsə, $t = a^x$ əvəzləməsi kvadrat tənlik verir. $t > 0$ şərtini mütləq yazın.

$4^x = (2^x)^2$ olduğundan $t = 2^x$, $t > 0$ götürürük: $t^2 - 3t - 4 = 0$, buradan $t_1 = 4$, $t_2 = -1$. $t_2 = -1 < 0$ yaramır. Onda $2^x = 4$, yəni $x = 2$.

Bircins tənliklər. Tənlikdə $a^{2x}$, $a^x b^x$ və $b^{2x}$ kimi hədlər varsa (hər həddə üstlərin cəmi eynidir), hər tərəfi $b^{2x}$ ifadəsinə bölüb $t = \left(\frac{a}{b}\right)^x$ əvəzləməsini edirik. Məsələn, $9^x + 6^x = 2 \cdot 4^x$ tənliyində $9^x = 3^{2x}$, $6^x = 3^x \cdot 2^x$, $4^x = 2^{2x}$. Hər tərəfi $4^x > 0$ ifadəsinə bölək:

$t = \left(\frac{3}{2}\right)^x > 0$: $t^2 + t - 2 = 0$, $t = 1$ və ya $t = -2$ (yaramır). $\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1 \Rightarrow x = 0$.

Xüsusi hal: $a^x = b^x$ ($a \neq b$) olduqda $\left(\frac{a}{b}\right)^x = 1$, yəni $x = 0$.

Loqarifmləmə. Qüvvətləri eyni əsasa gətirmək mümkün deyilsə, hər iki tərəfi loqarifmləyirik: $3^x = 7 \Rightarrow x = \log_3 7$.

Bəzi tənliklər yuxarıdakı üsullarla həll olunmur, məsələn, $2^x = 3 - x$. Burada funksiyaların monotonluğundan istifadə edirik: $y = 2^x$ artan, $y = 3 - x$ isə azalan funksiyadır. Artan və azalan funksiyaların qrafikləri ən çoxu bir nöqtədə kəsişir, deməli, tənliyin ən çoxu bir kökü var. Seçmə yolu ilə $x = 1$ tapırıq: $2^1 = 3 - 1 = 2$. Deməli, $x = 1$ yeganə kökdür.

Üsulu necə seçmək olar:

1. Bütün qüvvətləri eyni əsasa gətirmək olursa, üstləri bərabərləşdirin.
2. Üstləri sabit ədəd qədər fərqlənən qüvvətlər varsa, ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarın.
3. $a^{2x}$ və $a^x$ birlikdə iştirak edirsə, yeni dəyişən daxil edin.
4. $a^{2x}$, $a^x b^x$, $b^{2x}$ kimi hədlər varsa, bircins tənlik kimi $b^{2x}$ ifadəsinə bölün.
5. Bunların heç biri alınmırsa, loqarifmləyin və ya monotonluqdan istifadə edin.