Неопределённый интеграл и его свойства

Если функция $F(x)$ на некотором промежутке является первообразной для $f(x)$, то есть $F'(x)=f(x)$, то множество всех первообразных функции $f(x)$ называют её неопределённым интегралом:

• $\int$ — знак интеграла;
• $f(x)$ — подынтегральная функция, $f(x)\,dx$ — подынтегральное выражение;
• $x$ — переменная интегрирования, $C$ — произвольная постоянная.

Нахождение неопределённого интеграла называется интегрированием. Например, $(x^2)'=2x$, поэтому $\int 2x\,dx=x^2+C$. Слово «неопределённый» означает, что ответ — не одна функция, а целое семейство функций, зависящих от $C$.

Из определения сразу следуют два свойства, так как дифференцирование и интегрирование — взаимно обратные действия:

1. $\left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x)$: производная интеграла равна подынтегральной функции.
2. $\int F'(x)\,dx=F(x)+C$: интеграл от производной даёт саму функцию с точностью до постоянного слагаемого.

Правила вычисления:

3. Постоянный множитель выносится за знак интеграла: $\int k\,f(x)\,dx=k\int f(x)\,dx$ ($k\ne0$).
4. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов: $\int\big(f(x)\pm g(x)\big)dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$.
5. Линейный аргумент: $\int f(kx+b)\,dx=\dfrac1k\,F(kx+b)+C$ ($k\ne0$).

Например, $\int(3x^2+\cos x)\,dx=\int3x^2dx+\int\cos x\,dx=x^3+\sin x+C$. У каждого слагаемого появляется своя постоянная, но их сумма тоже произвольная постоянная, поэтому в ответе пишут одну $C$. Примеры на линейный аргумент: $\int e^{3x}dx=\dfrac{e^{3x}}{3}+C$, $\;\int\cos(2x-1)\,dx=\dfrac12\sin(2x-1)+C$.

Для произведения и частного такого правила нет: $\int f(x)\,g(x)\,dx$, вообще говоря, не равен произведению $\int f(x)\,dx\cdot\int g(x)\,dx$.

• $\int dx=x+C$
• $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$, $\;n\ne-1$
• $\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C$
• $\int \dfrac{dx}{\sqrt x}=2\sqrt x+C$
• $\int e^x\,dx=e^x+C$, $\;\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C$ ($a>0$, $a\ne1$)
• $\int \sin x\,dx=-\cos x+C$, $\;\int \cos x\,dx=\sin x+C$
• $\int \dfrac{dx}{\cos^2x}=\operatorname{tg}x+C$, $\;\int \dfrac{dx}{\sin^2x}=-\operatorname{ctg}x+C$

Каждое равенство таблицы проверяется дифференцированием правой части. Например, $\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)'=x^n$ и $(-\cos x)'=\sin x$.

Сначала превратите подынтегральную функцию в сумму табличных:

• раскройте скобки: $\int(x+1)(x-1)\,dx=\int(x^2-1)\,dx=\dfrac{x^3}{3}-x+C$;
• разделите дробь почленно ($x\ne0$): $\int\dfrac{x^3+2}{x^2}\,dx=\int\left(x+2x^{-2}\right)dx=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac2x+C$;
• запишите корни в виде степеней: $\int\sqrt[3]{x^2}\,dx=\int x^{\frac23}dx=\dfrac35x^{\frac53}+C$;
• используйте тригонометрические формулы: $\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$, поэтому $\int\sin^2x\,dx=\dfrac x2-\dfrac{\sin2x}{4}+C$.

Ответ для одного и того же интеграла может выглядеть по-разному. Например, для $\int(x+1)^2dx$ правило линейного аргумента даёт $\dfrac{(x+1)^3}{3}+C$, а раскрытие скобок даёт $\dfrac{x^3}{3}+x^2+x+C$. Оба ответа верны: они отличаются только постоянной ($\frac13$). Самый надёжный способ проверить ответ — найти его производную: она должна совпасть с подынтегральной функцией.