Основные понятия и обозначения

Точка, прямая и плоскость принимаются без определения, их поясняют на примерах. У точки нет размеров. У прямой нет концов: она бесконечно продолжается в обе стороны, и её длину измерить нельзя. Плоскость — ровная поверхность, бесконечно продолжающаяся во все стороны, как бесконечно продолженная поверхность стола.

Точки обозначают большими латинскими буквами: $A$ , $B$ , $C$ .
Прямые обозначают малыми латинскими буквами ( $a$ , $b$ ) или двумя своими точками ( $AB$ ).
Плоскости обозначают греческими буквами: $\alpha$ , $\beta$ .

Если точка $A$ лежит на прямой $a$ , пишут $A\in a$ и читают «точка $A$ принадлежит прямой $a$ ». Если не лежит, пишут $A\notin a$ . Точки, лежащие на одной прямой, иногда называют коллинеарными.

Основные свойства

На любой прямой есть точки, и есть точки, которые ей не принадлежат.
Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке. Если бы у них было две общие точки, по свойству 2 они бы совпали.
Из трёх точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Для точек $A$ и $B$ , не лежащих на прямой: если отрезок $AB$ не пересекает прямую, точки лежат в одной полуплоскости; если пересекает, то в разных.

В пространстве через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Задачи на подсчёт

Через каждую пару из $n$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, проходит одна прямая. Число пар равно $\dfrac{n(n-1)}{2}$ : каждая точка соединяется с остальными $n-1$ точками, но $AB$ и $BA$ — одна и та же прямая, поэтому произведение делим на 2.

Для $n$ прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку:

число точек пересечения равно $\dfrac{n(n-1)}{2}$ , так как каждая пара прямых пересекается один раз;
плоскость делится на $1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}$ частей.

Почему верна вторая формула: $k$ -я прямая пересекает предыдущие $k-1$ прямых в $k-1$ точках. Эти точки делят её на $k$ кусков (при $k\ge2$ два крайних — лучи). Каждый кусок разрезает ту часть плоскости, через которую проходит, надвое, то есть число частей увеличивается на $k$ .

Если часть точек лежит на одной прямой, формулу нельзя применять напрямую: все пары таких точек дают одну и ту же прямую.

Запомните

Точка, прямая и плоскость — основные понятия, которые принимаются без определения.
Через две точки проходит прямая, и притом только одна.
Две различные прямые имеют не более одной общей точки.
Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Через $n$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, проходит $\dfrac{n(n-1)}{2}$ прямых.
$n$ прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку: $\dfrac{n(n-1)}{2}$ точек пересечения и $1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}$ частей плоскости.

Разобранные примеры

Пример 1
На плоскости отмечено 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через каждые две из них?
Решение
1. Каждая прямая задаётся парой точек. Так как никакие три точки не лежат на одной прямой, разные пары дают разные прямые.
2. Каждая точка соединяется с остальными 5: $6\cdot5=30$ . При таком подсчёте каждая прямая учтена дважды ( $AB$ и $BA$ ).
3. $\dfrac{6\cdot5}{2}=15$ .
Ответ: 15 прямых.
Пример 2
На плоскости проведены 4 прямые, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. а) Найдите число точек пересечения. б) На сколько частей эти прямые делят плоскость?
Решение
а) Каждая пара прямых пересекается ровно в одной точке. Никакие три прямые не имеют общей точки, поэтому эти точки не совпадают: $\dfrac{4\cdot3}{2}=6$ .

б) Проводим прямые по одной. Без прямых плоскость — 1 часть. Первая прямая добавляет 1 часть, вторая 2, третья 3, четвёртая 4: $1+1+2+3+4=11$ . Проверка по формуле: $1+4+6=11$ .

Ответ: а) 6; б) 11.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

На плоскости дано 7 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через каждые две из них?
1. 14
2. 42
3. 21
4. 7
5. 35
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 21
$\dfrac{7\cdot6}{2}=21$ . Ответ 42 учитывает каждую прямую дважды.
На плоскости проведены 6 прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Найдите число точек пересечения.
1. 15
2. 12
3. 30
4. 36
5. 6
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 15
Каждая пара прямых пересекается в одной точке, и точки не совпадают: $\dfrac{6\cdot5}{2}=15$ .
На плоскости дано 5 точек: 3 из них лежат на одной прямой, а никакие другие три точки на одной прямой не лежат. Сколько различных прямых проходит через каждые две из этих точек?
1. 10
2. 7
3. 9
4. 8
5. 6
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D 8
Все пары дали бы $\dfrac{5\cdot4}{2}=10$ прямых. Но 3 пары из трёх точек на одной прямой дают одну и ту же прямую: $10-3+1=8$ .

Типичные ошибки

Представляют прямую как отрезок: у прямой нет концов и нет длины.
Забывают делить на 2 при подсчёте пар точек: $AB$ и $BA$ — одна и та же прямая.
Применяют формулу $\dfrac{n(n-1)}{2}$ , не проверив, лежат ли какие-то точки на одной прямой.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото