Sonsuz dövri onluq kəsrlər

Bəzi adi kəsrləri onluq kəsr şəklində göstərəndə (sürəti məxrəcə böldükdə) rəqəmlər qrupu sonsuz olaraq təkrarlanır. Belə kəsrlərə sonsuz dövri onluq kəsrlər və ya qısaca dövri onluq kəsrlər deyilir. Təkrarlanan rəqəmlər qrupuna dövr deyilir və o, mötərizədə yazılır. Məsələn, $\frac{1}{3} = 1 : 3 = 0,333\dots = 0,(3)$ (sıfır tam, dövrdə üç). Bütün adi kəsrləri ya sonlu onluq kəsr, ya da sonsuz dövri onluq kəsr şəklində göstərmək mümkündür. İxtisar olunmayan adi kəsrin məxrəcinin sadə vuruqları yalnız 2 və 5-dən ibarət olarsa, o sonlu onluq kəsrdir; digər sadə vuruqlar varsa, sonsuz dövri onluq kəsrdir.

Saf və qarışıq dövri onluq kəsrlər

Dövri onluq kəsrlər iki növə bölünür:

Saf dövri onluq kəsr: Vergüldən dərhal sonra dövr başlayır. Məsələn: $0,(7)$ , $2,(45)$ , $0,(312)$ . Məxrəci yalnız 2 və 5-dən fərqli sadə vuruqlardan ibarət olan adi kəsrlər saf dövri onluq kəsrə çevrilir (məsələn, $\frac{1}{3}$ , $\frac{5}{11}$ ).
Qarışıq dövri onluq kəsr: Vergüllə dövr arasında təkrarlanmayan bir və ya bir neçə rəqəm olur. Məsələn: $0,2(7)$ , $1,45(3)$ . Məxrəcində 2 və ya 5-lə yanaşı digər sadə vuruqlar da olan adi kəsrlər qarışıq dövri onluq kəsrə çevrilir (məsələn, $\frac{1}{6} = 0,166\dots = 0,1(6)$ ).

Dövri onluq kəsrin adi kəsrə çevrilməsi

Saf dövri onluq kəsri adi kəsrə çevirmək üçün sürətdə dövrdəki ədəd yazılır, məxrəcdə isə dövrdəki rəqəmlərin sayı qədər 9 yazılır. Məsələn: $0,(7) = \frac{7}{9}$ ; $2,(45) = 2\frac{45}{99} = 2\frac{5}{11}$ .
Qarışıq dövri onluq kəsri adi kəsrə çevirmək üçün sürətdə vergüldən sonrakı bütün ədəddən dövrə qədərki ədəd çıxılır. Məxrəcdə dövrdəki rəqəmlərin sayı qədər 9, dövrə qədərki rəqəmlərin sayı qədər 0 yazılır. Məsələn: $0,2(7) = \frac{27 - 2}{90} = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}$ ; $1,4(35) = 1\frac{435 - 4}{990} = 1\frac{431}{990}$ .

Yadda saxla

Məxrəcin vuruqlarında 2 və 5 yoxdursa $\to$ saf dövri kəsr.
Məxrəcin vuruqlarında 2 və ya 5 ilə yanaşı digər vuruqlar da varsa $\to$ qarışıq dövri kəsr.
Saf dövr: $0,(a) = \frac{a}{9}$ , $0,(ab) = \frac{ab}{99}$ .
Qarışıq dövr: $0,a(b) = \frac{ab - a}{90}$ , $0,a(bc) = \frac{abc - a}{990}$ , $0,ab(c) = \frac{abc - ab}{900}$ .
İxtisar olunmayan kəsrin məxrəcini sadə vuruqlara ayıraraq onun hansı növ kəsr olacağını tapmaq olar.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
$0,(3) + 0,2(5)$ cəmini hesablayın.
Həlli
Hər iki kəsri adi kəsrə çevirək: $0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ . $0,2(5) = \frac{25 - 2}{90} = \frac{23}{90}$ . İndi cəmi tapaq: $\frac{1}{3} + \frac{23}{90} = \frac{30}{90} + \frac{23}{90} = \frac{53}{90}$ .

Cavab: $\frac{53}{90}$ .
Misal 2
$\frac{17}{30}$ kəsri hansı onluq kəsr növünə aiddir və onu onluq kəsr kimi necə yazmaq olar?
Həlli
Kəsr ixtisar olunmayandır. Məxrəcin sadə vuruqları: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ . Vuruqların içərisində həm 2 və 5, həm də fərqli vuruq (3) var. Deməli, bu qarışıq dövri onluq kəsr olacaq. Onu onluq kəsrə çevirmək üçün sürəti məxrəcə bölək: $17 : 30 = 0,5666\dots = 0,5(6)$ .

Cavab: Qarışıq dövri onluq kəsr, $0,5(6)$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Hansı adi kəsr sonsuz dövri onluq kəsr kimi göstərilə bilər?
1. $\frac{7}{20}$
2. $\frac{9}{25}$
3. $\frac{5}{24}$
4. $\frac{11}{40}$
5. $\frac{21}{35}$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $\frac{5}{24}$
Kəsrlərin ixtisar olunub-olunmadığını yoxlayaq və məxrəclərin vuruqlarına baxaq. $\frac{21}{35} = \frac{3}{5}$ . Bütün məxrəclər: $20=2^2 \cdot 5$ ; $25=5^2$ ; $40=2^3 \cdot 5$ ; $5$ — hamısı yalnız 2 və 5-dən ibarətdir, yəni sonlu onluq kəsrlərdir. Lakin $\frac{5}{24}$ kəsrində məxrəc $24 = 2^3 \cdot 3$ -dür, 3 vuruğu olduğuna görə sonsuz dövri onluq kəsrdir.
$2,1(3)$ kəsrini adi kəsrə çevirin.
1. $2\frac{13}{90}$
2. $2\frac{13}{99}$
3. $\frac{31}{15}$
4. $2\frac{2}{15}$
5. $\frac{13}{90}$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $2\frac{2}{15}$
$2,1(3) = 2\frac{13 - 1}{90} = 2\frac{12}{90}$ . Kəsri 6-ya ixtisar etsək, $2\frac{2}{15}$ alınır. Doğru variant D.
$\frac{a}{18}$ kəsrinin saf dövri onluq kəsr olması üçün $a$ -nın yerinə hansı natural ədəd ola bilər ( $a < 18$ )?
1. $5$
2. $7$
3. $9$
4. $11$
5. $14$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: E $14$
$18 = 2 \cdot 3^2$ . Saf dövri kəsr olması üçün ixtisardan sonra məxrəcdə 2 (və ya 5) vuruğu qalmamalıdır. Yəni $a$ elə ədəd olmalıdır ki, 2-yə qalıqsız bölünsün və məxrəcdəki 2-ni ixtisar eləsin. Cavablardakı ədədlərdən yalnız 14 ədədi 2-yə bölünür. Əgər $a=14$ olarsa, $\frac{14}{18} = \frac{7}{9} = 0,(7)$ (saf dövri kəsr).

Tipik səhvlər

Qarışıq dövri kəsri adi kəsrə çevirərkən məxrəcə 0 yazmağı unutmaq (məsələn, $0,2(5)$ kəsrində məxrəcə 90 deyil, 9 və ya 99 yazmaq).
Qarışıq dövri kəsrdə sürətdə çıxma əməlini unutmaq: $0,1(6)$ üçün $\frac{16}{90}$ yazmaq (doğrusu $\frac{16-1}{90} = \frac{15}{90}$ ).
Kəsrin növünü (sonlu və ya sonsuz) müəyyən edərkən əvvəlcə ixtisar etməyi unutmaq (məsələn, $\frac{3}{15}$ kəsrini məxrəcində 3 olduğu üçün dövri kəsr hesab etmək, əslində isə $\frac{1}{5} = 0,2$ ).

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et