Бесконечные периодические десятичные дроби

При представлении некоторых обыкновенных дробей в виде десятичной (при делении числителя на знаменатель) группа цифр бесконечно повторяется. Такие дроби называются бесконечными периодическими десятичными дробями или просто периодическими дробями. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках. Например, $\frac{1}{3} = 1 : 3 = 0,333\dots = 0,(3)$ (ноль целых, три в периоде). Любую обыкновенную дробь можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо бесконечной периодической. Если простые множители знаменателя несократимой дроби состоят только из 2 и 5, то это конечная десятичная дробь; если есть другие простые множители — бесконечная периодическая.

Чистые и смешанные периодические дроби

Периодические десятичные дроби делятся на два вида:

Чистая периодическая дробь: Период начинается сразу после запятой. Например: $0,(7)$ , $2,(45)$ , $0,(312)$ . Несократимые дроби, знаменатель которых состоит только из простых множителей, отличных от 2 и 5, превращаются в чистые периодические дроби (например, $\frac{1}{3}$ , $\frac{5}{11}$ ).
Смешанная периодическая дробь: Между запятой и периодом есть одна или несколько неповторяющихся цифр. Например: $0,2(7)$ , $1,45(3)$ . Обыкновенные дроби, в знаменателе которых помимо 2 и/или 5 есть и другие простые множители, превращаются в смешанные периодические дроби (например, $\frac{1}{6} = 0,166\dots = 0,1(6)$ ).

Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную, в числителе записывается число в периоде, а в знаменателе пишется столько девяток, сколько цифр в периоде. Например: $0,(7) = \frac{7}{9}$ ; $2,(45) = 2\frac{45}{99} = 2\frac{5}{11}$ .
Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную, в числителе из всего числа после запятой вычитается число до периода. В знаменателе пишется столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом. Например: $0,2(7) = \frac{27 - 2}{90} = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}$ ; $1,4(35) = 1\frac{435 - 4}{990} = 1\frac{431}{990}$ .

Запомните

Нет множителей 2 и 5 в знаменателе $\to$ чистая периодическая дробь.
Есть 2 или 5 вместе с другими множителями $\to$ смешанная периодическая дробь.
Чистый период: $0,(a) = \frac{a}{9}$ , $0,(ab) = \frac{ab}{99}$ .
Смешанный период: $0,a(b) = \frac{ab - a}{90}$ , $0,a(bc) = \frac{abc - a}{990}$ , $0,ab(c) = \frac{abc - ab}{900}$ .
Разложив знаменатель несократимой дроби на простые множители, можно определить, какой десятичной дробью она станет.

Разобранные примеры

Пример 1
Вычислите сумму $0,(3) + 0,2(5)$ .
Решение
Переведём обе дроби в обыкновенные: $0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ . $0,2(5) = \frac{25 - 2}{90} = \frac{23}{90}$ . Теперь найдём сумму: $\frac{1}{3} + \frac{23}{90} = \frac{30}{90} + \frac{23}{90} = \frac{53}{90}$ .

Ответ: $\frac{53}{90}$ .
Пример 2
К какому виду десятичных дробей относится дробь $\frac{17}{30}$ и как её записать в виде десятичной дроби?
Решение
Дробь несократима. Простые множители знаменателя: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ . Среди множителей есть как 2 и 5, так и другой множитель (3). Значит, это будет смешанная периодическая десятичная дробь. Чтобы перевести её в десятичную дробь, разделим числитель на знаменатель: $17 : 30 = 0,5666\dots = 0,5(6)$ .

Ответ: Смешанная периодическая десятичная дробь, $0,5(6)$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби?
1. $\frac{7}{20}$
2. $\frac{9}{25}$
3. $\frac{5}{24}$
4. $\frac{11}{40}$
5. $\frac{21}{35}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $\frac{5}{24}$
Проверим дроби на сократимость и разложим знаменатели на множители. $\frac{21}{35} = \frac{3}{5}$ . Знаменатели: $20=2^2 \cdot 5$ ; $25=5^2$ ; $40=2^3 \cdot 5$ ; $5$ — все состоят только из 2 и 5, значит, это конечные десятичные дроби. А вот у дроби $\frac{5}{24}$ знаменатель $24 = 2^3 \cdot 3$ , из-за множителя 3 она станет бесконечной периодической десятичной дробью.
Переведите дробь $2,1(3)$ в обыкновенную.
1. $2\frac{13}{90}$
2. $2\frac{13}{99}$
3. $\frac{31}{15}$
4. $2\frac{2}{15}$
5. $\frac{13}{90}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $2\frac{2}{15}$
$2,1(3) = 2\frac{13 - 1}{90} = 2\frac{12}{90}$ . Сократим дробную часть на 6, получим $2\frac{2}{15}$ . Правильный вариант D.
Какое натуральное число может быть вместо $a$ , чтобы дробь $\frac{a}{18}$ была чистой периодической десятичной дробью ( $a < 18$ )?
1. $5$
2. $7$
3. $9$
4. $11$
5. $14$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E $14$
$18 = 2 \cdot 3^2$ . Чтобы дробь была чистой периодической, после сокращения в знаменателе не должно остаться множителей 2 (и 5). То есть $a$ должно делиться на 2, чтобы сократить двойку в знаменателе. Из предложенных вариантов на 2 делится только 14. Если $a=14$ , то $\frac{14}{18} = \frac{7}{9} = 0,(7)$ (чистая периодическая дробь).

Типичные ошибки

Забывать писать нули в знаменателе при переводе смешанной периодической дроби в обыкновенную (например, писать 9 или 99 вместо 90 для дроби $0,2(5)$ ).
Забывать вычитать число до периода в числителе смешанной периодической дроби: писать $\frac{16}{90}$ для $0,1(6)$ (правильно $\frac{16-1}{90} = \frac{15}{90}$ ).
Не сокращать дробь перед определением её вида (конечная или бесконечная). Например, считать дробь $\frac{3}{15}$ периодической из-за тройки в знаменателе, тогда как $\frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0,2$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото