Приведение выражений к одному виду дробей

Если в одном выражении участвуют обыкновенные и десятичные дроби, их следует перевести либо полностью в обыкновенные дроби, либо в конечные десятичные. Если простые множители знаменателя обыкновенной дроби состоят только из 2 и 5, её перевод в десятичную дробь значительно упрощает вычисления. Например: $0{,}25 + \frac{1}{4} = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5$ . Если в знаменателе обыкновенной дроби есть простые множители, отличные от 2 и 5 (например, 3, 7), эту дробь нельзя перевести в конечную десятичную. В таком случае все десятичные дроби в выражении обязательно переводить в обыкновенные. Например: $\frac{1}{3} + 0{,}5 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$ .

Действия с периодическими десятичными дробями

При вычислениях с периодическими десятичными дробями их обязательно нужно переводить в обыкновенные дроби. Затем действия выполняются по правилам для обыкновенных дробей. При переводе чистой периодической дроби в обыкновенную: в знаменатель записывается столько девяток, сколько цифр в периоде, а в числитель — само число в периоде. Например: $0{,}(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ . При переводе смешанной периодической дроби в обыкновенную: в знаменатель записывается столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом. В числителе из числа после запятой до конца периода вычитается часть до периода. Например: $0{,}1(6) = \frac{16-1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$ . Иногда чистые периодические дроби можно сложить быстрым путем: $0{,}(a) + 0{,}(b) = 0{,}(a+b)$ (если $a+b < 9$ ). Но в общем случае перевод в обыкновенную дробь — самый надежный способ.

Рациональные способы вычислений

При вычислении сложных выражений использование переместительного, сочетательного и распределительного свойств экономит время. Например: в выражении $4{,}5 \cdot \frac{2}{7} + 2{,}5 \cdot \frac{2}{7}$ общий множитель можно вынести за скобки: $\frac{2}{7} \cdot (4{,}5 + 2{,}5) = \frac{2}{7} \cdot 7 = 2$ . Также необходимо правильно соблюдать порядок действий (сначала скобки, затем умножение/деление, после сложение/вычитание). Если в выражении есть многоэтажная дробь (числитель и знаменатель разделены дробной чертой), числитель и знаменатель вычисляются отдельно, а в конце числитель делится на знаменатель.

Запомните

Если обыкновенные и десятичные дроби даны вместе, обыкновенные дроби, знаменатель которых не имеет других множителей, кроме 2 и 5, удобно переводить в десятичные.
Если обыкновенную дробь нельзя перевести в конечную десятичную, всё выражение нужно привести к обыкновенным дробям.
Периодические десятичные дроби перед вычислением всегда следует переводить в обыкновенные: $0{,}(a)=\frac{a}{9}$ , $0{,}a(b)=\frac{ab-a}{90}$ .
При умножении и делении смешанные числа обязательно нужно переводить в неправильные дроби.

Разобранные примеры

Пример 1
Вычислите значение выражения $1{,}5 \cdot \left( \frac{1}{3} + 0{,}(6) \right) - 0{,}25$ .
Решение
1. Сначала переведем периодическую дробь в обыкновенную: $0{,}(6) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .
2. Вычислим в скобках: $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$ .
3. Выполним умножение: $1{,}5 \cdot 1 = 1{,}5$ .
4. Выполним вычитание: $1{,}5 - 0{,}25 = 1{,}25$ .
Ответ: 1,25
Пример 2
Найдите значение выражения $\frac{0{,}8 + \frac{1}{5}}{0{,}2(3) + \frac{23}{30}}$ .
Решение
Вычислим числитель и знаменатель по отдельности.
1. Числитель: обыкновенную дробь можно перевести в десятичную: $\frac{1}{5} = 0{,}2$ . Тогда $0{,}8 + 0{,}2 = 1{,}0 = 1$ .
2. Знаменатель: сначала переведем периодическую дробь: $0{,}2(3) = \frac{23-2}{90} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}$ .
3. Вычислим слагаемые в знаменателе: $\frac{7}{30} + \frac{23}{30} = \frac{30}{30} = 1$ .
4. В конце разделим числитель на знаменатель: $\frac{1}{1} = 1$ .
Ответ: 1

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Вычислите $\frac{3}{4} - 0{,}5 + 0{,}(3)$ .
1. $\frac{1}{12}$
2. $\frac{7}{12}$
3. $\frac{5}{12}$
4. $\frac{11}{12}$
5. $1$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $\frac{7}{12}$
$0{,}(3) = \frac{1}{3}$ . Переведем остальные дроби в обыкновенные: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ . Общий знаменатель — 12. $\frac{9}{12} - \frac{6}{12} + \frac{4}{12} = \frac{9-6+4}{12} = \frac{7}{12}$ .
Каково значение выражения $0{,}1(6) \cdot 1{,}2 + \frac{4}{5}$ ?
1. $1$
2. $0{,}5$
3. $0{,}8$
4. $1{,}2$
5. $0{,}9$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $1$
1. Переведем периодическую дробь: $0{,}1(6) = \frac{16-1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$ .
2. Переведем десятичную дробь: $1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ .
3. Выполним умножение: $\frac{1}{6} \cdot \frac{6}{5} = \frac{1}{5}$ .
4. Сложим: $\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = \frac{5}{5} = 1$ .
Найдите значение выражения $\frac{0{,}(7) + 0{,}(2)}{0{,}5}$ .
1. $1$
2. $2$
3. $0{,}5$
4. $1{,}5$
5. $10$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $2$
1. Числитель: $0{,}(7) + 0{,}(2) = \frac{7}{9} + \frac{2}{9} = \frac{9}{9} = 1$ .
2. Знаменатель: $0{,}5 = \frac{1}{2}$ .
3. Разделим числитель на знаменатель: $1 : \frac{1}{2} = 1 \cdot 2 = 2$ .

Типичные ошибки

При вычислениях с периодическими десятичными дробями складывать их напрямую без перевода в обыкновенную дробь (например, думать, что $0{,}(7) + 0{,}(4) = 0{,}(11)$ — ошибка).
При переводе смешанной периодической дроби в обыкновенную забывать вычитать часть числа до периода.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото