Сложение и вычитание

Чтобы сложить (или вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить (или вычесть) их числители, а знаменатель оставить без изменения: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$ и $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$ .

Чтобы сложить (или вычесть) дроби с разными знаменателями, сначала их нужно привести к общему знаменателю (лучше всего к НОК). Затем они складываются (или вычитаются) как дроби с одинаковыми знаменателями. Например, знаменатели дробей $\frac{1}{4}$ и $\frac{2}{5}$ равны 4 и 5. НОК(4, 5) = 20. Дополнительный множитель для первой дроби — 5, для второй — 4: $\frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5}{20} + \frac{8}{20} = \frac{13}{20}$ .

Умножение и деление

Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно умножить их числители и записать произведение в числитель, а затем умножить знаменатели и записать произведение в знаменатель: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ . Для упрощения вычислений рекомендуется перед умножением сокращать числа в числителях и знаменателях.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое (первую дробь) умножить на дробь, обратную делителю (второй дроби): $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$ .

Особые случаи: При умножении (или делении) дроби на целое число не забывайте, что знаменатель целого числа равен 1: $a = \frac{a}{1}$ . Например, $\frac{2}{7} \cdot 3 = \frac{2}{7} \cdot \frac{3}{1} = \frac{6}{7}$ .

Запомните

При одинаковых знаменателях складываются (или вычитаются) только числители.
Дроби с разными знаменателями перед сложением приводят к общему знаменателю (НОК).
При умножении числитель умножается на числитель, знаменатель на знаменатель: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ .
При делении первая дробь умножается на обратную ко второй: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Вычислите значение выражения $\frac{5}{12} + \frac{7}{18} - \frac{1}{4}$ .
Решение
1. Находим НОК для знаменателей (12, 18 и 4): НОК(12, 18, 4) = 36.
2. Находим дополнительные множители: для первой дроби $36 : 12 = 3$ , для второй $36 : 18 = 2$ , для третьей $36 : 4 = 9$ .
3. Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{5 \cdot 3}{36} + \frac{7 \cdot 2}{36} - \frac{1 \cdot 9}{36} = \frac{15}{36} + \frac{14}{36} - \frac{9}{36}$ .
4. Выполняем действия в числителе: $15 + 14 - 9 = 20$ . Получаем $\frac{20}{36}$ .
5. Сокращаем дробь на 4: $\frac{20 : 4}{36 : 4} = \frac{5}{9}$ .
Ответ: $\frac{5}{9}$ .
Пример 2
Найдите значение выражения $\frac{8}{15} \cdot \frac{25}{24} : \frac{5}{9}$ .
Решение
1. Выполняем действия слева направо. Сначала запишем умножение, но до конца не перемножаем: $\frac{8 \cdot 25}{15 \cdot 24}$ .
2. Сокращаем 8 и 24 на 8 (в знаменателе остаётся 3), а 15 и 25 на 5 (в числителе остаётся 5, в знаменателе 3). Результат умножения: $\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{5}{9}$ .
3. Теперь выполняем деление. Заменяем деление умножением на обратную дробь: $\frac{5}{9} : \frac{5}{9} = \frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5}$ .
4. Числитель и знаменатель полностью сокращаются, результат равен 1.
Ответ: 1.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Вычислите сумму $\frac{3}{8} + \frac{5}{12}$ .
1. $\frac{19}{24}$
2. $\frac{8}{20}$
3. $\frac{1}{24}$
4. $\frac{7}{24}$
5. $\frac{15}{24}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $\frac{19}{24}$
НОК(8, 12) = 24. Дополнительные множители: 3 и 2. Приводим к общему знаменателю: $\frac{3 \cdot 3}{24} + \frac{5 \cdot 2}{24} = \frac{9}{24} + \frac{10}{24} = \frac{19}{24}$ .
Найдите частное $\frac{7}{10} : \frac{14}{15}$ .
1. $\frac{3}{4}$
2. $\frac{2}{3}$
3. $\frac{49}{75}$
4. $\frac{4}{3}$
5. $\frac{1}{2}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $\frac{3}{4}$
Умножаем первую дробь на обратную ко второй: $\frac{7}{10} \cdot \frac{15}{14} = \frac{7 \cdot 15}{10 \cdot 14}$ . Сокращаем 7 и 14 на 7 (в знаменателе 2), а 10 и 15 на 5 (в числителе 3, в знаменателе 2). Получаем $\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$ .
Произведение двух дробей равно $\frac{1}{2}$ . Найдите второй множитель, если один из них равен $\frac{3}{4}$ .
1. $\frac{2}{3}$
2. $\frac{3}{8}$
3. $\frac{1}{3}$
4. $\frac{4}{3}$
5. $\frac{3}{2}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $\frac{2}{3}$
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный: $x = \frac{1}{2} : \frac{3}{4}$ . Выполняем деление: $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{6}$ . После сокращения на 2 получаем $\frac{2}{3}$ .

Типичные ошибки

Сложение числителя с числителем, а знаменателя со знаменателем. Например, писать $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ — грубая ошибка.
Переворачивание первой дроби при делении или переворачивание обеих дробей. Переворачивать нужно только вторую дробь (делитель).

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото