Смешанное число и его перевод в неправильную дробь

Число, состоящее из целой части и правильной дроби, называется смешанным числом. Например, $3\frac{1}{4}$ — смешанное число: здесь $3$ — целая часть, а $\frac{1}{4}$ — дробная. Смешанное число всегда можно записать как сумму целой и дробной частей: $3\frac{1}{4} = 3 + \frac{1}{4}$ .

Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель, прибавить числитель и записать результат в числителе. Знаменатель при этом остается прежним. Например: $3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$ .

И наоборот, чтобы неправильную дробь перевести в смешанное число, нужно числитель разделить на знаменатель. Неполное частное становится целой частью, остаток — числителем, а знаменатель не меняется: переведем $\frac{17}{5}$ . $17 : 5 = 3$ (остаток $2$ ), значит $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$ .

Сложение и вычитание смешанных чисел

При сложении смешанных чисел отдельно складываются целые части и отдельно — дробные. Если сумма дробных частей оказалась неправильной дробью, из нее выделяют целую часть и прибавляют к общей целой части: $2\frac{2}{5} + 1\frac{4}{5} = (2+1) + (\frac{2}{5} + \frac{4}{5}) = 3 + \frac{6}{5} = 3 + 1\frac{1}{5} = 4\frac{1}{5}$ .

При вычитании смешанных чисел также отдельно вычитаются целые и дробные части. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, от целой части уменьшаемого «занимают» $1$ и прибавляют к дроби: $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} = 4\frac{5}{4} - 2\frac{3}{4} = (4-2) + (\frac{5}{4} - \frac{3}{4}) = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{2}$ . (При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю).

Умножение и деление смешанных чисел

Чтобы умножить или разделить смешанные числа, их обязательно нужно перевести в неправильные дроби. После этого применяются обычные правила умножения и деления дробей.

Умножение: $1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 3} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$ . Деление: $2\frac{2}{5} : 1\frac{1}{5} = \frac{12}{5} : \frac{6}{5} = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{12}{6} = 2$ .

Никогда нельзя умножать или делить целые и дробные части смешанных чисел по отдельности!

Запомните

Смешанное число состоит из целой и правильной дробной частей: $a\frac{b}{c} = a + \frac{b}{c}$ .
Для перевода смешанного числа в неправильную дробь целая часть умножается на знаменатель и складывается с числителем.
При сложении и вычитании целые и дробные части вычисляются отдельно, при необходимости от целой части дробной отдается 1 (равная знаменателю).
При умножении и делении смешанные числа обязательно нужно переводить в неправильные дроби.

Разобранные примеры

Пример 1
Вычислите: $(3\frac{1}{3} - 1\frac{5}{6}) \cdot 1\frac{1}{5}$
Решение
1. Сначала вычисляем значение в скобках. Приведем к общему знаменателю: $3\frac{1}{3} = 3\frac{2}{6}$ .
2. Теперь вычитаем: $3\frac{2}{6} - 1\frac{5}{6}$ . Так как дробная часть уменьшаемого меньше, представим $3\frac{2}{6}$ как $2\frac{8}{6}$ .
3. Вычитание: $2\frac{8}{6} - 1\frac{5}{6} = 1\frac{3}{6} = 1\frac{1}{2}$ .
4. Умножаем полученный результат: $1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{5}$ . Переведем в неправильные дроби: $\frac{3}{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{18}{10} = 1\frac{8}{10} = 1\frac{4}{5}$ .
Ответ: $1\frac{4}{5}$
Пример 2
Вычислите: $4\frac{2}{3} : 1\frac{1}{6} + 2\frac{1}{2}$
Решение
1. Чтобы выполнить деление, сначала переведем числа в неправильные дроби: $4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$ и $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$ .
2. Деление: $\frac{14}{3} : \frac{7}{6} = \frac{14}{3} \cdot \frac{6}{7} = \frac{14 \cdot 6}{3 \cdot 7} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{1} = 4$ .
3. Сложение: $4 + 2\frac{1}{2} = 6\frac{1}{2}$ .
Ответ: $6\frac{1}{2}$

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Найдите разность $5\frac{1}{6} - 2\frac{5}{6}$ .
1. $2\frac{1}{3}$
2. $2\frac{1}{6}$
3. $3\frac{1}{3}$
4. $3\frac{2}{3}$
5. $2\frac{5}{6}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $2\frac{1}{3}$
$5\frac{1}{6} = 4\frac{7}{6}$ . Теперь вычитаем: $4\frac{7}{6} - 2\frac{5}{6} = (4-2) + (\frac{7}{6} - \frac{5}{6}) = 2\frac{2}{6}$ . Сокращаем: $2\frac{1}{3}$ .
Вычислите: $2\frac{4}{5} \cdot 1\frac{3}{7}$
1. $3\frac{12}{35}$
2. $4$
3. $3$
4. $2\frac{12}{35}$
5. $4\frac{1}{5}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $4$
$2\frac{4}{5} = \frac{14}{5}$ и $1\frac{3}{7} = \frac{10}{7}$ . Умножение: $\frac{14}{5} \cdot \frac{10}{7} = \frac{14 \cdot 10}{5 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 4$ .
Сумма двух смешанных чисел равна $7\frac{1}{4}$ , одно из них $3\frac{5}{8}$ . Найдите другое число.
1. $4\frac{3}{8}$
2. $3\frac{5}{8}$
3. $3\frac{3}{8}$
4. $4\frac{5}{8}$
5. $3\frac{1}{2}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $3\frac{5}{8}$
Из суммы вычитаем известное слагаемое: $7\frac{1}{4} - 3\frac{5}{8} = 7\frac{2}{8} - 3\frac{5}{8}$ . Представим $7\frac{2}{8}$ как $6\frac{10}{8}$ . Разность: $6\frac{10}{8} - 3\frac{5}{8} = 3\frac{5}{8}$ .

Типичные ошибки

Отдельное вычисление целых и дробных частей при умножении и делении. Например, вместо перевода $2\frac{1}{2} \cdot 3\frac{1}{4}$ в неправильные дроби, умножать $2 \cdot 3$ и $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ в корне неверно.
При вычитании, если нужно «занять» единицу у целой части, прибавлять к числителю просто 1, а не значение знаменателя. Ошибочно писать $3\frac{1}{5} = 2\frac{2}{5}$ , правильно — $2\frac{6}{5}$ .
Забывать выделять целую часть, если при сложении смешанных чисел дробная часть получилась неправильной дробью.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото