Нахождение части от числа

Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно это число умножить на данную дробь. То есть, чтобы найти $\frac{m}{n}$ от числа $a$ , вычисляем произведение $a \cdot \frac{m}{n}$ .

Например, чтобы найти $\frac{3}{8}$ от 40, мы умножаем: $40 \cdot \frac{3}{8} = 15$ . Это правило можно понимать и так: сначала делим заданное число на знаменатель (если оно делится без остатка), чтобы узнать величину одной доли, а затем умножаем на числитель, чтобы взять нужное количество таких долей.

Нахождение числа по его части

Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, нужно эту часть разделить на данную дробь. То есть, чтобы найти число, если его $\frac{m}{n}$ часть равна $b$ , нужно вычислить $b : \frac{m}{n}$ (или, что то же самое, $b \cdot \frac{n}{m}$ ).

Например, если $\frac{2}{5}$ числа равны 14, то само число равно $14 : \frac{2}{5} = 14 \cdot \frac{5}{2} = 35$ . Логически это объясняется так: деля известное значение на числитель, мы находим размер одной доли, а затем, умножая результат на знаменатель, находим всё число целиком.

Понятие «оставшейся части» в задачах

В текстовых задачах очень часто требуется найти остаток. За целое всегда принимают 1. Если от целого забрали (или потратили) $\frac{a}{b}$ часть, то оставшаяся часть будет равна $1 - \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b}$ .

Например, если выполнено $\frac{3}{7}$ всей работы, то осталось выполнить $1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ работы. Если же в задаче говорится, что далее берется какая-то часть от остатка, то соответствующие дроби просто перемножаются.

Запомните

Чтобы найти часть $\frac{m}{n}$ от числа, нужно это число умножить на $\frac{m}{n}$ .
Чтобы найти число по его части $b$ , равной $\frac{m}{n}$ , нужно $b$ разделить на $\frac{m}{n}$ .
В задачах целое принимается за $1$ ; чтобы найти «остаток», из единицы вычитается заданная дробь.

Разобранные примеры

Пример 1
Найдите сумму $\frac{5}{12}$ части и $\frac{3}{4}$ части от числа 72.
Решение
1. Сначала найдем $\frac{5}{12}$ от 72, умножив число на дробь: $72 \cdot \frac{5}{12} = 6 \cdot 5 = 30$ .
2. Теперь найдем $\frac{3}{4}$ от 72: $72 \cdot \frac{3}{4} = 18 \cdot 3 = 54$ .
3. Сложим полученные значения: $30 + 54 = 84$ .
Ответ: 84.
Пример 2
Найдите $\frac{2}{7}$ от числа, если известно, что $\frac{4}{7}$ этого числа равны 28.
Решение
1. Сначала найдем само неизвестное число. Чтобы найти число по его части, делим значение на дробь: $28 : \frac{4}{7} = 28 \cdot \frac{7}{4} = 7 \cdot 7 = 49$ . Значит, искомое число — 49.
2. Теперь вычислим $\frac{2}{7}$ от полученного числа 49. Для этого умножим число на дробь: $49 \cdot \frac{2}{7} = 7 \cdot 2 = 14$ .
Ответ: 14.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

В книге 120 страниц. Ученик прочитал $\frac{3}{5}$ всей книги. Сколько страниц прочитал ученик?
1. 60
2. 72
3. 84
4. 48
5. 96
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 72
Чтобы найти часть от числа, умножаем число на дробь, выражающую эту часть: $120 \cdot \frac{3}{5} = 24 \cdot 3 = 72$ . Значит, ученик прочитал 72 страницы.
Найдите число, если его $\frac{5}{9}$ равны 45.
1. 25
2. 54
3. 63
4. 81
5. 72
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D 81
Чтобы найти число по его части, нужно разделить известное значение на дробь: $45 : \frac{5}{9} = 45 \cdot \frac{9}{5} = 9 \cdot 9 = 81$ .
В магазине было 240 кг яблок. Сначала продали $\frac{1}{4}$ часть всех яблок, а затем $\frac{2}{3}$ остатка. Сколько килограммов яблок осталось в магазине?
1. 60
2. 80
3. 100
4. 120
5. 40
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 60
1. Сначала найдем, сколько продали в первый раз: $240 \cdot \frac{1}{4} = 60$ кг.
2. Оставшиеся яблоки: $240 - 60 = 180$ кг.
3. Во второй раз продали $\frac{2}{3}$ от остатка: $180 \cdot \frac{2}{3} = 120$ кг.
4. В итоге осталось: $180 - 120 = 60$ кг.

Типичные ошибки

Путаница между нахождением части от числа и числа по части: когда нужно умножить, ошибочно делят, и наоборот.
При вычислении «части от остатка» находят эту часть от первоначального (общего) количества, а не от оставшегося.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото