Целая часть числа

Целой частью числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данное. Обозначается как $[x]$ .

Целая часть положительной десятичной дроби равна числу до запятой:

$[5{,}7] = 5$ (наибольшее целое число, меньшее или равное 5,7, — это 5).
$[0{,}43] = 0$ .

Целая часть целого числа равна самому числу:

$[8] = 8$ .

С отрицательными дробями нужно быть внимательнее. Если число отрицательное, мы берём наибольшее целое число, которое меньше данного. Это означает первое целое число «слева» на числовой прямой:

$[-2{,}3] = -3$ (так как $-3 \le -2{,}3$ ).
$[-0{,}15] = -1$ .

Дробная часть числа

Дробная часть числа равна разности между самим числом и его целой частью. Обозначается как $\{x\}$ . Формула: $\{x\} = x - [x]$ .

Дробная часть всегда является неотрицательным числом и строго меньше единицы: $0 \le \{x\} < 1$ .

Дробная часть положительной десятичной дроби — это её часть после запятой:

$\{5{,}7\} = 5{,}7 - 5 = 0{,}7$ .
$\{0{,}43\} = 0{,}43 - 0 = 0{,}43$ .

Дробная часть целого числа равна нулю:

$\{8\} = 8 - 8 = 0$ .

Чтобы найти дробную часть отрицательного числа, нужно из самого числа вычесть его целую часть (которая является меньшим отрицательным числом):

$\{-2{,}3\} = -2{,}3 - [-2{,}3] = -2{,}3 - (-3) = -2{,}3 + 3 = 0{,}7$ .
$\{-0{,}15\} = -0{,}15 - (-1) = 0{,}85$ .

Запомните

Целая часть $[x]$ : наибольшее целое число, не превосходящее $x$ .
Дробная часть $\{x\}$ : разность между числом и его целой частью, $\{x\} = x - [x]$ .
Дробная часть всегда удовлетворяет условию $0 \le \{x\} < 1$ .
Для положительных чисел $[3{,}4]=3$ , $\{3{,}4\}=0{,}4$ . Для отрицательных чисел $[-3{,}4]=-4$ , $\{-3{,}4\}=0{,}6$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Вычислите сумму: $[-5{,}8] + \{2{,}4\}$ .
Решение
1. Сначала найдём целую часть числа $-5{,}8$ . Наибольшее целое число, которое меньше или равно $-5{,}8$ , — это $-6$ : $[-5{,}8] = -6$ .
2. Затем найдём дробную часть числа $2{,}4$ . Так как число положительное, его целая часть равна $2$ . Дробная часть: $\{2{,}4\} = 2{,}4 - 2 = 0{,}4$ .
3. Теперь вычислим сумму: $-6 + 0{,}4 = -5{,}6$ .
Ответ: $-5{,}6$
Пример 2
Найдите произведение целой и дробной частей числа $-12{,}3$ .
Решение
1. Найдём целую часть числа: $[-12{,}3] = -13$ .
2. Вычислим дробную часть по формуле: $\{-12{,}3\} = -12{,}3 - (-13) = -12{,}3 + 13 = 0{,}7$ .
3. Их произведение: $-13 \cdot 0{,}7 = -9{,}1$ .
Ответ: $-9{,}1$

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Найдите значение выражения $2[x] - \{x\}$ , если $x = -4{,}2$ .
1. $-9{,}8$
2. $-10{,}8$
3. $-8{,}2$
4. $-10{,}2$
5. $-9{,}2$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $-10{,}8$
Целая часть: $[-4{,}2] = -5$ . Дробная часть: $\{-4{,}2\} = -4{,}2 - (-5) = 0{,}8$ . Подставляем в выражение: $2 \cdot (-5) - 0{,}8 = -10 - 0{,}8 = -10{,}8$ .
У какого числа дробная часть наибольшая?
1. $5{,}2$
2. $-3{,}7$
3. $0{,}85$
4. $-1{,}1$
5. $14{,}6$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $-1{,}1$
Найдём дробную часть каждого числа: А) $\{5{,}2\} = 0{,}2$ В) $\{-3{,}7\} = -3{,}7 - (-4) = 0{,}3$ С) $\{0{,}85\} = 0{,}85$ D) $\{-1{,}1\} = -1{,}1 - (-2) = 0{,}9$ Е) $\{14{,}6\} = 0{,}6$ Наибольшая дробная часть равна $0{,}9$ .
Вычислите сумму: $\left[ 7{,}9 \right] + \left\{ -7{,}9 \right\}$ .
1. $0$
2. $7{,}1$
3. $8{,}1$
4. $-0{,}1$
5. $7{,}9$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $7{,}1$
Целая часть: $[7{,}9] = 7$ . Дробная часть: $\{-7{,}9\} = -7{,}9 - (-8) = 0{,}1$ . Сумма: $7 + 0{,}1 = 7{,}1$ .

Типичные ошибки

Ошибочное определение целой части отрицательного числа, когда берут только число до запятой (например, пишут $-4$ для $[-4{,}2]$ ). Правильный ответ — $-5$ , так как целая часть — это наибольшее целое число, которое меньше или равно самому числу.
Предположение, что дробная часть отрицательного числа может быть отрицательной. Дробная часть никогда не бывает отрицательной, она всегда находится в промежутке $0 \le \{x\} < 1$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото