Множество целых чисел и противоположные числа

Натуральные числа ( $1, 2, 3, \dots$ ), противоположные им отрицательные числа ( $-1, -2, -3, \dots$ ) и $0$ (нуль) образуют множество целых чисел. Множество целых чисел обозначается буквой $\mathbb{Z}$ : $\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$ . Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом. Числа, отличающиеся только знаком, называются противоположными (например, $5$ и $-5$ ). Противоположным нулю является сам нуль.

Координатная прямая, модуль и сравнение

Прямая с выбранным началом отсчета (точка $0$ ), направлением и единичным отрезком называется координатной прямой. Справа от нуля расположены положительные числа, слева — отрицательные.

Модуль (абсолютная величина) числа — это расстояние на координатной прямой от начала отсчета до точки, соответствующей этому числу. Расстояние не может быть отрицательным: $|5| = 5$ , $|-5| = 5$ , $|0| = 0$ .

Правила сравнения:

Любое положительное число больше $0$ и больше любого отрицательного.
Любое отрицательное число меньше $0$ .
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше ( $-3 > -7$ , так как $|-3| < |-7|$ ).

Действия над целыми числами

Сложение: При сложении чисел с одинаковыми знаками их модули складываются, и ставится общий знак ( $-4 + (-5) = -9$ ). При сложении чисел с разными знаками из большего модуля вычитается меньший, и ставится знак большего модуля ( $-8 + 3 = -5$ ). Сумма противоположных чисел равна нулю: $a + (-a) = 0$ .

Вычитание: Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: $a - b = a + (-b)$ (например, $-5 - (-2) = -5 + 2 = -3$ ).

Умножение и деление: Произведение (или частное) двух чисел с одинаковыми знаками положительно, а с разными знаками — отрицательно. Например: $(-4) \cdot (-3) = 12$ , $15 : (-3) = -5$ .

Запомните

$\mathbb{Z}$ — множество целых чисел: натуральные числа, им противоположные и нуль.
Модуль числа — это расстояние, он никогда не бывает отрицательным: $|-a| = a$ (при $a > 0$ ).
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше ( $-10 < -2$ ).
Произведение и частное чисел с одинаковыми знаками положительны ( $+ \cdot + = +$ , $- \cdot - = +$ ), а с разными знаками — отрицательны ( $+ \cdot - = -$ ).
Сумма противоположных чисел равна нулю: $a + (-a) = 0$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Вычислите значение выражения: $|-15| - |-7| + |-3| \cdot 2$ .
Решение
1. Находим модули всех чисел: $|-15| = 15$ , $|-7| = 7$ , $|-3| = 3$ .
2. Подставляем полученные значения в выражение: $15 - 7 + 3 \cdot 2$ .
3. По порядку действий сначала выполняется умножение: $3 \cdot 2 = 6$ .
4. Затем вычитание и сложение (слева направо): $15 - 7 + 6 = 8 + 6 = 14$ .
Ответ: 14
Пример 2
При каких целых значениях $x$ выполняется неравенство $-4 < x \le 2$ ? Найдите сумму этих целых значений.
Решение
1. Целые числа, удовлетворяющие данному неравенству, должны быть больше $-4$ , но меньше или равны $2$ . Это числа: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$ .
2. Найдем сумму этих чисел: $(-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2$ .
3. Так как $-2$ и $2$ , $-1$ и $1$ — противоположные числа, их суммы равны $0$ . Остается только $-3$ .
Ответ: Целые значения, удовлетворяющие неравенству: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$ ; их сумма: $-3$

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Вычислите: $-18 + 24 : (-6) - (-5)$
1. $-23$
2. $-17$
3. $-19$
4. $-7$
5. $-13$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $-17$
Сначала выполняется деление: $24 : (-6) = -4$ . Выражение принимает вид: $-18 + (-4) - (-5)$ . Складываем и вычитаем: $-18 + (-4) = -22$ ; $-22 - (-5) = -22 + 5 = -17$ .
Найдите сумму корней уравнения $|x-4| = 6$ .
1. $8$
2. $10$
3. $2$
4. $6$
5. $4$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $8$
По свойству модуля, $x-4 = 6$ или $x-4 = -6$ . Из первого уравнения $x = 10$ , из второго $x = -2$ . Сумма корней: $10 + (-2) = 8$ .
Какое неравенство всегда верно (здесь $a$ — отрицательное, а $b$ — положительное целое число)?
1. $a + b < 0$
2. $a - b > 0$
3. $a \cdot b > 0$
4. $a - b < 0$
5. $|a| < |b|$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $a - b < 0$
$a$ — отрицательное, $b$ — положительное число. При вычитании положительного числа из отрицательного (например, $-2 - 3 = -5$ ) результат всегда отрицательный, то есть $a - b < 0$ . Значение $a+b$ и $|a| < |b|$ зависят от конкретных чисел, а их произведение отрицательно.

Типичные ошибки

Путать сложение двух отрицательных чисел с правилом умножения и писать положительный результат (ошибка вида $-3 + (-4) = 7$ ).
Считать, что отрицательное число с большим модулем больше (например, писать $-10 > -2$ ).
Извлекать из-под знака модуля отрицательное число (например, $|-5| = -5$ ). Модуль всегда положителен или равен нулю.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото