Что такое противоположное число?

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами. Например, $5$ и $-5$ , $12$ и $-12$ , $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{2}$ — противоположные числа.

Число, противоположное числу $a$ , обозначается как $-a$ . Если $a$ — положительное число, то $-a$ — отрицательное. Если $a$ — отрицательное, то противоположное ему число положительно (например, $-(-3) = 3$ ). Число, противоположное нулю, равно самому нулю: $-0 = 0$ . Нуль — единственное число, которое не является ни положительным, ни отрицательным.

Противоположные числа на числовой прямой

На числовой прямой противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчёта (нуля), но по разные стороны от него. Например, число $4$ находится на 4 единицы вправо от нуля, а число $-4$ — на 4 единицы влево. Это значит, что модули (абсолютные величины) противоположных чисел равны: $|a| = |-a|$ .

Расстояние между двумя противоположными числами равно удвоенному модулю каждого из них. Например, расстояние между $-3$ и $3$ составляет $6$ единиц.

Сумма противоположных чисел

Самое важное свойство противоположных чисел — их сумма всегда равна нулю: $a + (-a) = 0$ .

Это свойство часто используется при решении уравнений и упрощении алгебраических выражений. Например, решением уравнения $x + 7 = 0$ является число $-7$ , противоположное $7$ . Также при сложении взаимно противоположных слагаемых они «взаимно уничтожаются», и в результате получается нуль: $5x - 3 + 2x + 3 = 7x$ .

Запомните

Два числа, отличающиеся только знаком, называются противоположными.
Число, противоположное $a$ , записывается как $-a$ . Их сумма всегда равна нулю: $a + (-a) = 0$ .
Модули противоположных чисел равны: $|a| = |-a|$ .
Число, противоположное нулю — это сам нуль: $-0 = 0$ .
Правило $-(-a) = a$ выполняется всегда.

Разобранные примеры

Пример 1
Найдите сумму чисел, противоположных числам $-8$ и $5$ .
Решение
1. Число, противоположное $-8$ , равно $-(-8) = 8$ .
2. Число, противоположное $5$ , равно $-5$ .
3. Найдём сумму полученных чисел: $8 + (-5) = 8 - 5 = 3$ .
Ответ: 3.
Пример 2
На числовой оси числа $a$ и $b$ являются противоположными. Расстояние между ними равно $14$ . Найдите эти числа, если $a > 0$ .
Решение
1. Так как $a$ и $b$ — противоположные числа, можно записать $b = -a$ .
2. На числовой прямой расстояние между противоположными числами равно удвоенному модулю одного из них: $2|a| = 14$ .
3. Отсюда $|a| = 7$ . По условию $a > 0$ , следовательно, $a = 7$ .
4. Тогда $b = -7$ .
Ответ: 7 и -7.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какое из следующих чисел является противоположным числу $-3{,}5$ ?
1. $-\frac{7}{2}$
2. $3{,}5$
3. $-\frac{2}{7}$
4. $3$
5. $0$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $3{,}5$
Противоположные числа отличаются только знаком. Так как $-3{,}5$ — отрицательное число, противоположное ему должно иметь тот же модуль, но положительный знак. Это число $3{,}5$ .
При каком значении $x$ числа $2x - 8$ и $10$ являются взаимно противоположными?
1. $9$
2. $1$
3. $-1$
4. $-9$
5. $0$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $-1$
Если два числа взаимно противоположны, их сумма равна нулю: $(2x - 8) + 10 = 0$ . Отсюда $2x + 2 = 0 \implies 2x = -2 \implies x = -1$ .
На числовой прямой отмечена точка $B$ , противоположная точке $A(-6)$ . Найдите расстояние между точками $A$ и $B$ .
1. $0$
2. $6$
3. $12$
4. $3$
5. $-12$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $12$
Число, противоположное $-6$ , равно $6$ , то есть $B(6)$ . Расстояние между двумя точками на координатной прямой — это модуль разности их координат: $|6 - (-6)| = |6 + 6| = 12$ . (Или по формуле расстояния между противоположными числами $2|a|$ : $2 \cdot 6 = 12$ ).

Типичные ошибки

Путать противоположное число с обратным. Например, число, противоположное 5, это $-5$ , а обратное — $\frac{1}{5}$ .
Забывать менять знак при нахождении противоположного числа для отрицательных значений. Ошибка считать, что $-(-x)$ равно $-x$ , а не $x$ .
Считать, что у нуля нет противоположного числа. Противоположным числу нуль является сам нуль.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото