Модуль (абсолютное значение) числа

Модуль (абсолютное значение) числа — это расстояние от точки, изображающей это число на числовой прямой, до начала координат (нуля). Поскольку расстояние не может быть отрицательным, значение модуля всегда неотрицательно.

Модуль числа $a$ обозначается как $|a|$ и определяется следующим образом:

Например, $|5|=5$, так как $5 \ge 0$. $|-3|=3$, так как $-3 < 0$, поэтому $-(-3)=3$. $|0|=0$.

Модуль обладает рядом важных свойств, которые используются в вычислениях и при решении уравнений:

1. $|a| \ge 0$ (значение модуля всегда неотрицательно)
2. $|a| = |-a|$ (например, $|5|=|-5|=5$)
3. $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ (модуль произведения равен произведению модулей)
4. $|a / b| = |a| / |b|$, ($b \ne 0$) (модуль частного равен частному модулей)
5. $|a+b| \le |a| + |b|$ (неравенство треугольника)
6. $|a|^2 = a^2$ (квадрат модуля равен квадрату числа)
7. $\sqrt{a^2} = |a|$ (квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа)

При решении уравнений с модулем используются определение и свойства модуля.

• Уравнения вида $|x|=a$:

  • Если $a > 0$, то уравнение имеет два решения: $x=a$ и $x=-a$.
  • Если $a = 0$, то уравнение имеет одно решение: $x=0$.
  • Если $a < 0$, то уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным числом.

• Уравнения вида $|f(x)|=a$ решаются аналогично: если $a \ge 0$, то нужно решить два уравнения $f(x)=a$ и $f(x)=-a$.

• Уравнения вида $|f(x)|=|g(x)|$ сводятся к решению двух уравнений: $f(x)=g(x)$ и $f(x)=-g(x)$.

• Уравнения вида $|f(x)|=g(x)$ решаются при условии $g(x) \ge 0$. В этом случае также рассматриваются два уравнения: $f(x)=g(x)$ и $f(x)=-g(x)$. Найденные корни должны удовлетворять условию $g(x) \ge 0$.

Решение неравенств с модулем также основывается на определении модуля.

• Неравенства вида $|x| < a$:

  • Если $a > 0$, то решением неравенства является интервал $-a < x < a$.
  • Если $a \le 0$, то неравенство не имеет решений.

• Неравенства вида $|x| > a$:

  • Если $a > 0$, то решением неравенства является объединение интервалов $x < -a$ или $x > a$.
  • Если $a \le 0$, то решением неравенства является множество всех действительных чисел ($x \in R$).

• Неравенства вида $|f(x)| < a$ и $|f(x)| > a$ решаются по тем же правилам для выражения $f(x)$.