Modulun tərifi və həndəsi mənası

Ədədin modulu (mütləq qiyməti) ədəd oxu üzərində həmin ədədi göstərən nöqtədən koordinat başlanğıcına (sıfıra) qədər olan məsafədir. Məsafə mənfi ola bilmədiyi üçün modulun qiyməti həmişə qeyri-mənfi olur.

$a$ ədədinin modulu $|a|$ kimi işarə olunur və aşağıdakı kimi təyin edilir:

|a| = \begin{cases} a, & \text{əgər } a \ge 0 \\ -a, & \text{əgər } a < 0 \end{cases}

Məsələn, $|5|=5$ , çünki $5 \ge 0$ . $|-3|=3$ , çünki $-3 < 0$ olduğundan $-(-3)=3$ . $|0|=0$ .

Modulun əsas xassələri

Modulun hesablamalarda və tənliklərin həllində istifadə olunan bir sıra vacib xassələri var:

$|a| \ge 0$ (modulun qiyməti həmişə qeyri-mənfidir)
$|a| = |-a|$ (məsələn, $|5|=|-5|=5$ )
$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ (hasilin modulu modulların hasilinə bərabərdir)
$|a / b| = |a| / |b|$ , ( $b \ne 0$ ) (nisbətin modulu modulların nisbətinə bərabərdir)
$|a+b| \le |a| + |b|$ (üçbucaq bərabərsizliyi)
$|a|^2 = a^2$ (modulun kvadratı ədədin kvadratına bərabərdir)
$\sqrt{a^2} = |a|$ (kvadrat kök altından çıxarkən modul işarəsi ilə çıxır)

Modul daxilində dəyişəni olan tənliklər

Modul daxilində dəyişəni olan tənlikləri həll edərkən modulun tərifindən və xassələrindən istifadə olunur.

$|x|=a$ tipli tənliklər:
- Əgər $a > 0$ olarsa, tənliyin iki həlli var: $x=a$ və $x=-a$ .
- Əgər $a = 0$ olarsa, tənliyin bir həlli var: $x=0$ .
- Əgər $a < 0$ olarsa, tənliyin həlli yoxdur, çünki modulun qiyməti mənfi ola bilməz.
$|f(x)|=a$ tipli tənliklər də eyni qayda ilə həll olunur: əgər $a \ge 0$ olarsa, $f(x)=a$ və ya $f(x)=-a$ tənliklərini həll etmək lazımdır.
$|f(x)|=|g(x)|$ tipli tənliklər $f(x)=g(x)$ və ya $f(x)=-g(x)$ tənliklərinin həllinə gətirilir.
$|f(x)|=g(x)$ tipli tənliklər isə $g(x) \ge 0$ şərti daxilində $f(x)=g(x)$ və ya $f(x)=-g(x)$ kimi həll edilir. Tapılan köklər $g(x) \ge 0$ şərtini ödəməlidir.

Modul daxilində dəyişəni olan bərabərsizliklər

Modullu bərabərsizlikləri həll edərkən də modulun tərifinə əsaslanılır.

$|x| < a$ tipli bərabərsizliklər:
- Əgər $a > 0$ olarsa, bərabərsizliyin həlli $-a < x < a$ aralığıdır.
- Əgər $a \le 0$ olarsa, bərabərsizliyin həlli yoxdur.
$|x| > a$ tipli bərabərsizliklər:
- Əgər $a > 0$ olarsa, bərabərsizliyin həlli $x < -a$ və ya $x > a$ aralıqlarının birləşməsidir.
- Əgər $a \le 0$ olarsa, bərabərsizliyin həlli bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur ( $x \in R$ ).
$|f(x)| < a$ və $|f(x)| > a$ tipli bərabərsizliklər də $f(x)$ ifadəsi üçün eyni qaydalarla həll edilir.

Yadda saxla

Ədədin modulu ( $|a|$ ) ədəd oxunda sıfırdan olan məsafəsidir.
$|a| = a$ əgər $a \ge 0$ , $|a| = -a$ əgər $a < 0$ .
$|a| \ge 0$ və $|a| = |-a|$ .
$|x|=a$ tənliyinin ( $a \ge 0$ üçün) həlləri $x=a$ və $x=-a$ -dır.
$|x|<a$ bərabərsizliyinin ( $a > 0$ üçün) həlli $-a < x < a$ aralığıdır.
$|x|>a$ bərabərsizliyinin ( $a > 0$ üçün) həlli $x < -a$ və ya $x > a$ aralıqlarının birləşməsidir.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
$|2x-3|=7$ tənliyini həll edin.
Həlli
Modulun tərifinə görə, $2x-3$ ifadəsi $7$ -yə və ya $-7$ -yə bərabər ola bilər.
1. $2x-3 = 7 \implies 2x = 7+3 \implies 2x = 10 \implies x=5$
2. $2x-3 = -7 \implies 2x = -7+3 \implies 2x = -4 \implies x=-2$
Cavab: Tənliyin həlləri $\{-2; 5\}$ .
Misal 2
$|x+1| < 4$ bərabərsizliyini həll edin.
Həlli
Bərabərsizliyin xassəsinə görə, $|x| < a$ ( $a>0$ ) bərabərsizliyi $-a < x < a$ kimi yazılır. Bizim halda $a=4$ , deməli:

$-4 < x+1 < 4$

Bərabərsizliyin hər tərəfindən $1$ çıxaq:

$-4-1 < x+1-1 < 4-1$

$-5 < x < 3$

Cavab: Bərabərsizliyin həll intervalı $(-5; 3)$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

$|-5| - |3|$ ifadəsinin qiymətini tapın.
1. 8
2. -8
3. 2
4. -2
5. 0
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C 2
$|-5|=5$ və $|3|=3$ . Onda $5-3=2$ .
$|x-2|=0$ tənliyini həll edin.
1. 2
2. -2
3. $\pm 2$
4. həlli yoxdur
5. 0
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: A 2
Modulun qiyməti sıfıra bərabərdirsə, modul daxilindəki ifadə də sıfıra bərabər olmalıdır. $x-2=0 \implies x=2$ .
$|2x+1| \le 5$ bərabərsizliyinin ən böyük tam həllini tapın.
1. 2
2. 3
3. -3
4. 4
5. -2
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: A 2
Bərabərsizliyi $-5 \le 2x+1 \le 5$ kimi yaza bilərik. Hər tərəfdən $1$ çıxaq: $-6 \le 2x \le 4$ . Hər tərəfi $2$ -yə bölək: $-3 \le x \le 2$ . Bu intervaldakı ən böyük tam ədəd $2$ -dir.

Tipik səhvlər

Mənfi ədədin modulunu mənfi ədəd kimi yazmaq, məsələn, $|-5| = -5$ kimi səhv etmək. Modul həmişə qeyri-mənfidir.
$|x|=a$ tənliyini həll edərkən yalnız bir müsbət həlli nəzərə almaq ( $x=a$ ), mənfi həlli ( $x=-a$ ) unudmaq.
$|x|>a$ bərabərsizliyini həll edərkən $x<-a$ və $x>a$ şərtlərini "və" bağlayıcısı ilə birləşdirmək. Düzgün olan "və ya" (birləşmə) bağlayıcısıdır.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et