Həqiqi ədədlər

Həqiqi ədədlər çoxluğu ($\mathbb{R}$) rasional ədədlər ($\mathbb{Q}$) və irrasional ədədlər ($\mathbb{I}$) çoxluqlarının birləşməsidir: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$.

Rasional ədədlər ($\mathbb{Q}$) $\frac{m}{n}$ şəklində göstərilə bilən ədədlərdir, burada $m$ tam ədəd ($m \in \mathbb{Z}$), $n$ isə natural ədəddir ($n \in \mathbb{N}$). Rasional ədədlər sonlu və ya dövri onluq kəsr şəklində yazıla bilər. Məsələn, $5$, $-3$, $\frac{1}{2}$, $0{,}75$, $0{,}333...$.

İrrasional ədədlər ($\mathbb{I}$) isə sonsuz, qeyri-dövri onluq kəsr şəklində olan ədədlərdir. Onları $\frac{m}{n}$ şəklində göstərmək mümkün deyil. Məsələn, $\sqrt{2} \approx 1{,}41421...$, $\pi \approx 3{,}14159...$, $e \approx 2{,}71828...$.

Hər bir həqiqi ədədə ədəd oxu üzərində yeganə bir nöqtə uyğundur və əksinə.

Rasional ədədlər özləri də müxtəlif alt çoxluqlara bölünür:

• Natural ədədlər ($\mathbb{N}$): Sayma üçün istifadə olunan ədədlərdir: $1, 2, 3, \dots$. Bəzən $0$ da natural ədədlərə daxil edilir, lakin DİM proqramında adətən $0 \notin \mathbb{N}$.
• Tam ədədlər ($\mathbb{Z}$): Natural ədədlər, onların əksləri və sıfır: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$.

Rasional ədədlər adi kəsrlər, sonlu onluq kəsrlər və dövri onluq kəsrlər formasında ola bilər. Adi kəsrləri (məsələn, $\frac{3}{4}$) onluq kəsrə (0,75) çevirmək mümkündür. Dövri onluq kəsrlər (məsələn, $0{,}121212... = 0{,}(12)$) də rasionaldır və adi kəsrə çevrilə bilər.

İrrasional ədədlər rasional ədədlər çoxluğuna daxil olmayan həqiqi ədədlərdir. Onların ən çox rast gəlinən növləri bunlardır:

• Kökaltı ifadələr: Tam kvadrat olmayan natural ədədlərin kvadrat kökləri (məsələn, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{7}$) və ya digər dərəcədən köklər (məsələn, $\sqrt[3]{5}$). Qeyd edək ki, $\sqrt{9}=3$ rasional ədəddir, çünki $9$ tam kvadratdır.
• Transsendent ədədlər: Heç bir rasional əmsallı cəbri tənliyin kökü olmayan ədədlər. Ən məşhur nümunələr $\pi$ (dairənin uzunluğunun diametrinə nisbəti) və $e$ (natural loqarifmin əsası) ədədləridir.

Hər bir həqiqi ədədə ədəd oxu üzərində yeganə bir nöqtə uyğun gəlir. Bu, həqiqi ədədlər çoxluğu ilə ədəd oxu nöqtələri arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq olduğunu göstərir.

Həqiqi ədədləri müqayisə etmək üçün aşağıdakı üsullardan istifadə olunur:

1. Ədəd oxu üzərində yerləşməsinə görə: Ədəd oxunda sağda yerləşən ədəd solda yerləşəndən böyükdür.
2. Fərqin işarəsinə görə: Əgər $a-b > 0$ olarsa, $a > b$; əgər $a-b < 0$ olarsa, $a < b$; əgər $a-b = 0$ olarsa, $a = b$.
3. Onluq kəsrə çevirməklə: Ədədləri onluq kəsr şəklində yazaraq rəqəm-rəqəm müqayisə etmək (xüsusilə irrasional ədədlərin təqribi qiymətlərindən istifadə etməklə).
4. Kök işarəsi altına salmaqla: Kökaltı ifadələri müqayisə edərkən, onları eyni kök işarəsi altına salıb kökaltı ifadələri müqayisə etmək.

Həqiqi ədədlər üzərində toplama, çıxma, vurma və sıfırdan fərqli ədədə bölmə əməlləri rasional ədədlərdəki kimi aparılır və bu əməllərə görə həqiqi ədədlər çoxluğu qapalıdır. Yəni, iki həqiqi ədədin cəmi, fərqi, hasili və nisbəti (bölən sıfır olmadıqda) yenə də həqiqi ədəddir.

Bu əməllər üçün aşağıdakı xassələr doğrudur:

• Kommutativlik: $a+b = b+a$, $a \cdot b = b \cdot a$
• Assosiativlik: $(a+b)+c = a+(b+c)$, $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
• Distributivlik: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$

İrrasional ədədlərlə əməllər apararkən bəzən ifadələri sadələşdirmək (məsələn, $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$) və ya təqribi qiymətlərdən istifadə etmək lazım gəlir.