Действительные числа

Множество действительных чисел ($\mathbb{R}$) является объединением множеств рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) и иррациональных чисел ($\mathbb{I}$): $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$.

Рациональные числа ($\mathbb{Q}$) — это числа, которые можно представить в виде $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Рациональные числа могут быть представлены в виде конечной или периодической десятичной дроби. Например, $5$, $-3$, $\frac{1}{2}$, $0{,}75$, $0{,}333...$.

Иррациональные числа ($\mathbb{I}$) — это числа, которые представляются бесконечной, непериодической десятичной дробью. Их невозможно записать в виде $\frac{m}{n}$. Например, $\sqrt{2} \approx 1{,}41421...$, $\pi \approx 3{,}14159...$, $e \approx 2{,}71828...$.

Каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой, и наоборот.

Рациональные числа сами делятся на несколько подмножеств:

• Натуральные числа ($\mathbb{N}$): Числа, используемые для счёта: $1, 2, 3, \dots$. Иногда $0$ также включается в натуральные числа, но в программе DİM обычно $0 \notin \mathbb{N}$.
• Целые числа ($\mathbb{Z}$): Натуральные числа, их противоположности и ноль: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$.

Рациональные числа могут быть представлены в виде обыкновенных дробей, конечных десятичных дробей и периодических десятичных дробей. Обыкновенные дроби (например, $\frac{3}{4}$) можно перевести в десятичные (0,75). Периодические десятичные дроби (например, $0{,}121212... = 0{,}(12)$) также являются рациональными и могут быть преобразованы в обыкновенные дроби.

Иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными. Наиболее распространённые виды иррациональных чисел:

• Корни: Квадратные корни из натуральных чисел, не являющихся полными квадратами (например, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{7}$), или корни других степеней (например, $\sqrt[3]{5}$). Следует отметить, что $\sqrt{9}=3$ является рациональным числом, так как $9$ — полный квадрат.
• Трансцендентные числа: Числа, которые не являются корнями никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Самые известные примеры — число $\pi$ (отношение длины окружности к её диаметру) и число $e$ (основание натурального логарифма).

Каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой. Это означает, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и точками числовой прямой.

Для сравнения действительных чисел используются следующие методы:

1. По расположению на числовой прямой: Число, расположенное правее на числовой прямой, больше числа, расположенного левее.
2. По знаку разности: Если $a-b > 0$, то $a > b$; если $a-b < 0$, то $a < b$; если $a-b = 0$, то $a = b$.
3. Перевод в десятичную дробь: Сравнение чисел по разрядам после их записи в виде десятичной дроби (особенно при использовании приближённых значений иррациональных чисел).
4. Внесение под корень: При сравнении выражений с корнями их можно внести под один корень и сравнить подкоренные выражения.

Операции сложения, вычитания, умножения и деления на ненулевое число над действительными числами выполняются так же, как и над рациональными числами, и множество действительных чисел замкнуто относительно этих операций. Это означает, что сумма, разность, произведение и частное (при ненулевом делителе) двух действительных чисел также являются действительными числами.

Для этих операций справедливы следующие свойства:

• Коммутативность: $a+b = b+a$, $a \cdot b = b \cdot a$
• Ассоциативность: $(a+b)+c = a+(b+c)$, $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
• Дистрибутивность: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$

При выполнении операций с иррациональными числами иногда требуется упрощать выражения (например, $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$) или использовать приближённые значения.