Числовая ось и основные правила сравнения

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой оси. Число, расположенное правее на числовой оси, всегда больше числа, расположенного левее.

Положительные числа больше отрицательных чисел.
Ноль больше всех отрицательных чисел и меньше всех положительных чисел.
Для сравнения любых двух чисел можно рассмотреть их разность: если $a-b>0$ , то $a>b$ . Или, если $a-b<0$ , то $a<b$ .
При сравнении двух отрицательных чисел больше то, модуль (абсолютная величина) которого меньше. Например, $-3 > -5$ , так как $|-3|=3$ и $|-5|=5$ , а $3<5$ .

Сравнение рациональных чисел

Для сравнения рациональных чисел, представленных в виде дробей, их можно привести к общему знаменателю и сравнить числители. Например, сравним числа $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$ . Общий знаменатель — 12. $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ и $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ . Поскольку $8 < 9$ , то $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$ .

Для сравнения десятичных дробей необходимо сравнивать их целые части, затем разряды десятых, сотых и так далее, двигаясь слева направо. Например, при сравнении $3{,}14$ и $3{,}141$ , целые части ( $3=3$ ) и разряды десятых ( $1=1$ ), сотых ( $4=4$ ) равны. В разряде тысячных $0 < 1$ , поэтому $3{,}14 < 3{,}141$ .

Сравнение иррациональных чисел

Для сравнения иррациональных чисел обычно используют метод приведения их под один корень или нахождения их приблизительных значений.

Сравнение подкоренных выражений: Если $a>0$ , $b>0$ , то неравенство $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ эквивалентно неравенству $a > b$ . Например, сравним числа $\sqrt{7}$ и $\sqrt{5}$ . Поскольку $7 > 5$ , то $\sqrt{7} > \sqrt{5}$ .
Внесение множителя под знак корня: Сравним числа $3\sqrt{2}$ и $2\sqrt{3}$ . Внесем множитель под знак корня в обоих выражениях:
- $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$
- $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$
- Поскольку $18 > 12$ , то $\sqrt{18} > \sqrt{12}$ , то есть $3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}$ .
Приближенная оценка: Знание приблизительных значений некоторых иррациональных чисел упрощает сравнение (например, $\pi \approx 3{,}14$ , $e \approx 2{,}72$ , $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ ). С помощью этих значений можно сравнивать иррациональные числа с другими.

Сравнение чисел в разных формах

Иногда сравниваемые числа даны в разных формах (например, обыкновенная дробь, десятичная дробь, выражение с корнем). В этом случае наиболее удобным методом является приведение их к одной форме (например, перевод всех чисел в десятичные дроби или внесение всех множителей под корень). Например, сравним числа $\frac{1}{3}$ , $0{,}3$ и $\sqrt{0{,}1}$ :

Переведем каждое число в десятичную дробь или оценим его приблизительное значение:
- $\frac{1}{3} \approx 0{,}333...$
- $0{,}3$
- $\sqrt{0{,}1}$ . Мы знаем, что $0{,}3^2 = 0{,}09$ и $0{,}4^2 = 0{,}16$ . Следовательно, $0{,}3 < \sqrt{0{,}1} < 0{,}4$ . Более точно, $\sqrt{0{,}1} \approx 0{,}316$ .
Теперь сравним числа: $0{,}3 < 0{,}316 < 0{,}333...$
Следовательно, $0{,}3 < \sqrt{0{,}1} < \frac{1}{3}$ .

Запомните

Число правее на числовой оси больше числа левее.
Для сравнения любых двух чисел можно рассмотреть их разность: $a-b>0 \implies a>b$ .
При сравнении двух отрицательных чисел, больше то, модуль которого меньше.
Сравнивайте дроби, приводя к общему знаменателю, а иррациональные числа — внося множитель под корень или оценивая их.
Приводите числа в разных формах к одной форме (например, десятичной дроби) для сравнения.

Разобранные примеры

Пример 1
Сравните числа $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{8}$ .
Решение
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 6 и 8 равно 24.
1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 4: $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}$
2. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 3: $\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24}$
3. Теперь сравним числители: $20 < 21$ .
4. Следовательно, $\frac{20}{24} < \frac{21}{24}$ , то есть $\frac{5}{6} < \frac{7}{8}$ .
Ответ: $\frac{5}{6} < \frac{7}{8}$ .
Пример 2
Сравните числа $4\sqrt{3}$ и $3\sqrt{5}$ .
Решение
Внесем множитель под знак корня в обоих выражениях:
1. Преобразуем первое выражение: $4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$
2. Преобразуем второе выражение: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$
3. Теперь сравним числа под корнем: $48 > 45$ .
4. Следовательно, $\sqrt{48} > \sqrt{45}$ , то есть $4\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$ .
Ответ: $4\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какое неравенство верно?
1. $-0{,}5 > -\frac{1}{4}$
2. $\frac{2}{3} < 0{,}6$
3. $\sqrt{10} < 3$
4. $2\sqrt{2} > \sqrt{8}$
5. $0{,}75 = \frac{3}{4}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E $0{,}75 = \frac{3}{4}$
A) $-0{,}5 = -\frac{1}{2} = -0{,}5$ . $-0{,}5 < -\frac{1}{4} = -0{,}25$ . Неверно. B) $\frac{2}{3} \approx 0{,}666...$ . $0{,}666... > 0{,}6$ . Неверно. C) $3 = \sqrt{9}$ . $\sqrt{10} > \sqrt{9}$ . Неверно. D) $2\sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$ . Следовательно, $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ . Неверно. E) $0{,}75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ . Верно.
Расположите числа в порядке возрастания: $A = 2{,}5$ , $B = \frac{7}{3}$ , $C = \sqrt{6}$ .
1. $C, B, A$
2. $B, A, C$
3. $A, B, C$
4. $C, A, B$
5. $B, C, A$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E $B, C, A$
Представим числа в виде десятичных дробей:
- $A = 2{,}5$
- $B = \frac{7}{3} = 2{,}333...$
- $C = \sqrt{6}$ . Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$ , поэтому $2 < \sqrt{6} < 3$ . Более точно, $2{,}4^2 = 5{,}76$ и $2{,}5^2 = 6{,}25$ . Следовательно, $2{,}4 < \sqrt{6} < 2{,}5$ . Приблизительно $C \approx 2{,}45$ .
Теперь сравним числа: $2{,}333... < 2{,}45 < 2{,}5$ . То есть $B < C < A$ . В порядке возрастания: $B, C, A$ .
Выберите наименьшее число: $\frac{1}{2}$ , $0{,}4$ , $\sqrt{0{,}25}$ , $0{,}45$ .
1. $\frac{1}{2}$
2. $0{,}4$
3. $\sqrt{0{,}25}$
4. $0{,}45$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $0{,}4$
Переведем все числа в десятичные дроби:
- $\frac{1}{2} = 0{,}5$
- $0{,}4$
- $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ (так как $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$ )
- $0{,}45$
Теперь сравним числа: $0{,}4 < 0{,}45 < 0{,}5 = 0{,}5$ . Наименьшее число — $0{,}4$ .

Типичные ошибки

При сравнении отрицательных чисел думать, что больше то, модуль которого больше. На самом деле, больше то отрицательное число, модуль которого меньше (например, $-2 > -10$ ).
При сравнении выражений с корнями забывать вносить множитель под знак корня. Например, при сравнении $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{10}$ забыть, что $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$ .
Неправильно сравнивать числа в разных формах (например, обыкновенную и десятичную дробь), не приводя их к единому виду.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото