Что такое числовая ось?

Числовая ось — это прямая, на которой выбраны: начало отсчёта (обычно обозначается '0'), положительное направление (вправо) и единичный отрезок (отрезок длиной 1). Принято считать, что каждой точке на числовой оси соответствует определённое действительное число, называемое её координатой. Координата начала отсчёта — ноль. Точкам, расположенным в положительном направлении, соответствуют положительные числа, а в отрицательном — отрицательные числа.

Изображение целых и рациональных чисел

Целые числа (..., $-2$ , $-1$ , $0$ , $1$ , $2$ , ...) легко отмечаются на числовой оси с помощью единичного отрезка. Например, точка $2$ находится на расстоянии двух единичных отрезков вправо от $0$ , а точка $-1$ — на расстоянии одного единичного отрезка влево от $0$ .

Рациональные числа (числа, которые можно представить в виде дроби $p/q$ , где $p$ — целое, $q$ — натуральное) располагаются на числовой оси по принципам изображения дробей. Например, чтобы изобразить $\frac{1}{2}$ , отрезок между $0$ и $1$ делится на две равные части; число $0{,}75$ занимает три четверти отрезка между $0$ и $1$ .

Изображение иррациональных чисел

Иррациональные числа (числа, представляемые бесконечными непериодическими десятичными дробями, например, $\sqrt{2}$ , $\pi$ ) изображаются на числовой оси либо приближённо, либо с помощью геометрических построений.

Приближённое изображение: Иррациональное число можно перевести в десятичную дробь с заданной точностью, а затем изобразить как рациональное число. Например, $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , $\pi \approx 3{,}14$ .

Геометрическое изображение: Некоторые иррациональные числа, например, квадратные корни, можно точно изобразить с помощью теоремы Пифагора. Например, для изображения $\sqrt{2}$ можно построить прямоугольный треугольник с катетами длиной $1$ (от $0$ до $1$ по оси и перпендикулярно вверх от $1$ на $1$ единицу). Длина гипотенузы такого треугольника будет $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ . Затем циркулем перенести эту длину на числовую ось, отложив её от начала отсчёта.

Взаимно однозначное соответствие между действительными числами и числовой осью

Каждой точке на числовой оси соответствует единственное действительное число, и каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой оси. Это означает, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси. Это свойство позволяет визуально сравнивать числа, определять их порядок и решать неравенства.

Запомните

Числовая ось: начало отсчёта (0), положительное направление (вправо), единичный отрезок.
Каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой оси.
Каждой точке на числовой оси соответствует единственное действительное число.
Рациональные числа изображаются прямо, иррациональные — приближённо или геометрически (например, по теореме Пифагора).

Разобранные примеры

Пример 1
Изобразите на числовой оси числа $-2{,}5$ , $\frac{3}{4}$ и $\sqrt{5}$ .
Решение
1. $-2{,}5$ : От начала отсчёта $0$ откладываем $2$ целых единицы влево, а затем ещё $0{,}5$ единицы, чтобы отметить точку $-2{,}5$ .
2. $\frac{3}{4}$ : Это число равно $0{,}75$ . Отрезок между $0$ и $1$ делим на $4$ равные части и отсчитываем от $0$ вправо три такие части (третья точка деления).
3. $\sqrt{5}$ : Это число можно изобразить геометрически. Строим прямоугольный треугольник с катетами длиной $2$ (от $0$ вправо до $2$ ) и $1$ (от точки $2$ перпендикулярно вверх на $1$ единицу). Длина гипотенузы этого треугольника будет $\sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ . Переносим длину этой гипотенузы циркулем на числовую ось от начала отсчёта, получив точку $\sqrt{5}$ примерно в $2{,}24$ .
Пример 2
На числовой оси даны точки A( $-3$ ) и B( $5$ ). Найдите координату середины отрезка AB.
Решение
Координата середины отрезка между двумя точками находится как среднее арифметическое их координат: $x_{\text{середины}} = \frac{x_A + x_B}{2}$ $x_{\text{середины}} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: Координата середины отрезка равна $1$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какое число наиболее близко к $\sqrt{10}$ ?
1. $3{,}1$
2. $3{,}2$
3. $3{,}0$
4. $3{,}3$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $3{,}2$
$\sqrt{10} \approx 3{,}162$ . Сравним квадраты чисел: $3{,}1^2=9{,}61$ , $3{,}2^2=10{,}24$ , $3{,}0^2=9{,}00$ , $3{,}3^2=10{,}89$ . Число $\sqrt{10}$ находится между $3{,}1$ и $3{,}2$ . Разница с $3{,}1$ составляет $3{,}162 - 3{,}1 = 0{,}062$ . Разница с $3{,}2$ составляет $3{,}2 - 3{,}162 = 0{,}038$ . Следовательно, $3{,}2$ ближе.
Найдите расстояние между точками $M(2)$ и $N(8)$ на числовой оси.
1. $4$
2. $6$
3. $8$
4. $10$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $6$
Расстояние между двумя точками на числовой оси равно модулю разности их координат: $|N - M| = |8 - 2| = |6| = 6$ . Или $|M - N| = |2 - 8| = |-6| = 6$ .
При изображении точек $P(-\frac{1}{2})$ и $Q(1{,}5)$ на числовой оси, где расположена точка $P$ относительно точки $Q$ ?
1. Справа
2. Слева
3. В той же точке
4. В центре
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B Слева
Координата точки $P(-\frac{1}{2})$ равна $-0{,}5$ . Координата точки $Q(1{,}5)$ равна $1{,}5$ . Так как $-0{,}5 < 1{,}5$ , точка $P$ расположена слева от точки $Q$ .

Типичные ошибки

Ошибки в точном или приближённом расположении иррациональных чисел (например, считать $\sqrt{2}$ близким к $2$ , хотя оно ближе к $1{,}41$ ).
Неправильное определение направления для отрицательных чисел на числовой оси (например, считать $-3$ правее $-2$ ).
Ошибки при изображении дробных чисел, неправильно деля единичный отрезок или путая их с десятичными дробями (например, изображать $\frac{1}{2}$ как $1{,}2$ ).

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото