Определение и элементы числовой оси

Числовая ось — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта (точка 0), положительное направление и единичный отрезок. Эти элементы полностью определяют числовую ось:

Начало отсчёта: Точка 0, обычно обозначаемая буквой $O$ . Эта точка делит числовую ось на две части.
Положительное направление: Обычно указывается стрелкой вправо. В этом направлении числа увеличиваются.
Единичный отрезок: Отрезок, длина которого равна 1. Единичный отрезок служит единицей измерения для определения положения других чисел на числовой оси. Например, точка 1 находится на расстоянии одного единичного отрезка от начала отсчёта в положительном направлении.

Изображение чисел на числовой оси

Каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой оси, и наоборот, каждой точке числовой оси соответствует единственное действительное число. Это число называется координатой точки.

Положительные числа (например, $5$ , $\frac{1}{2}$ , $\sqrt{2}$ ) располагаются в положительном направлении от начала отсчёта.
Отрицательные числа (например, $-3$ , $-0{,}75$ , $-\pi$ ) располагаются в противоположном направлении (влево) от начала отсчёта.
Ноль находится в начале отсчёта.

При нанесении чисел на числовую ось важно учитывать размер единичного отрезка и знак числа (положительное или отрицательное). Например, $A(3)$ означает, что координата точки $A$ равна 3.

Применение числовой оси

Числовая ось используется во многих математических целях:

Сравнение чисел: Число, расположенное правее на числовой оси, всегда больше числа, расположенного левее. Например, $5 > 2$ (5 правее 2) и $-1 > -4$ (-1 правее -4).
Изображение интервалов: Решения неравенств изображаются на числовой оси в виде интервалов. Например, решение неравенства $x > 2$ изображается как интервал $(2; +\infty)$ , а $1 \le x < 5$ как интервал $[1; 5)$ .
Расстояние между двумя точками: Расстояние между точками $A(x_1)$ и $B(x_2)$ на числовой оси находится по формуле $|x_2 - x_1|$ . Например, расстояние между $A(2)$ и $B(7)$ равно $|7 - 2| = 5$ .

Запомните

Числовая ось — это прямая, определённая началом отсчёта (0), положительным направлением и единичным отрезком.
Каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой оси (и наоборот).
Положительные числа располагаются справа от 0, отрицательные — слева.
Число, расположенное правее на числовой оси, больше числа, расположенного левее.
Расстояние между точками $A(x_1)$ и $B(x_2)$ вычисляется по формуле $|x_2 - x_1|$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Приблизительно отметьте на числовой оси следующие числа: $A(2{,}5)$ , $B(-3)$ , $C(\frac{1}{4})$ , $D(\sqrt{5})$ .
Решение
1. Начертите числовую ось и отметьте начало отсчёта (0). Укажите положительное направление стрелкой вправо.
2. Выберите единичный отрезок (например, каждый сантиметр равен 1 единице).
3. $A(2{,}5)$ : Отметьте на расстоянии 2,5 единицы вправо от 0 (точно посередине между 2 и 3).
4. $B(-3)$ : Отметьте на расстоянии 3 единиц влево от 0.
5. $C(\frac{1}{4})$ : Поскольку $\frac{1}{4} = 0{,}25$ , отметьте на расстоянии 0,25 единицы вправо от 0 (между 0 и 1, ближе к 0).
6. $D(\sqrt{5})$ : Поскольку $\sqrt{4} = 2$ и $\sqrt{9} = 3$ , $\sqrt{5}$ приблизительно равно $2{,}24$ . Отметьте на расстоянии 2,24 единицы вправо от 0 (между 2 и 3, ближе к 2).
Ответ: Точки отмечены на числовой оси в соответствии с их координатами.
Пример 2
На числовой оси даны точки $M(-4)$ и $N(x)$ . Если точка $M$ расположена на 7 единиц левее точки $N$ , найдите $x$ .
Решение
1. Согласно условию, точка $M$ находится на 7 единиц левее $N$ . Это означает, что точка $N$ находится на 7 единиц правее $M$ .
2. При движении вправо по числовой оси координаты увеличиваются.
3. Координата точки $M$ равна $-4$ .
4. Чтобы найти координату точки $N$ , нужно к координате $M$ прибавить 7: $x = -4 + 7$ .
5. Вычисляем: $x = 3$ .
Ответ: $x=3$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какое утверждение о числовой оси верно?
1. Каждой точке соответствуют два действительных числа.
2. Начало отсчёта всегда равно 1.
3. Положительные числа располагаются слева от начала отсчёта.
4. Координата точки, расположенной правее, больше координаты точки, расположенной левее.
5. Единичный отрезок всегда должен быть равен 2 см.
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D Координата точки, расположенной правее, больше координаты точки, расположенной левее.
Одно из основных свойств числовой оси состоит в том, что числа, расположенные правее, всегда больше чисел, расположенных левее. Вариант A неверен, каждой точке соответствует единственное число. Вариант B неверен, начало отсчёта — это 0. Вариант C неверен, положительные числа располагаются справа от 0. Вариант E неверен, длина единичного отрезка может быть любой, нет стандартной длины.
На числовой оси даны точки $A(x)$ , $B(5)$ и $C(12)$ . Если точка $B$ находится ровно посередине между точками $A$ и $C$ , найдите $x$ .
1. -2
2. -7
3. 0
4. 1
5. -5
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A -2
Если точка $B$ находится посередине между $A$ и $C$ , то её координата равна среднему арифметическому координат $A$ и $C$ : $5 = \frac{x + 12}{2}$ . Решим это уравнение: $10 = x + 12$ , откуда $x = 10 - 12 = -2$ .
На числовой оси точка $P(-8)$ расположена на 3 единицы правее точки $Q(y)$ . Каково значение $y$ ?
1. -11
2. -5
3. 5
4. 11
5. -8
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A -11
Если точка $P$ находится на 3 единицы правее $Q$ , это означает, что координата $P$ на 3 единицы больше координаты $Q$ . То есть, $-8 = y + 3$ . Отсюда $y = -8 - 3 = -11$ .

Типичные ошибки

Неправильное расположение отрицательных чисел на числовой оси, например, считать, что $-5$ находится правее $-2$ .
Неиспользование модуля при нахождении расстояния между двумя точками, что приводит к отрицательному значению расстояния.
Неправильное применение единичного отрезка, что приводит к ошибочному определению относительного положения чисел.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото