Определение рациональных чисел

Рациональные числа — это числа, которые могут быть представлены в виде дроби $\frac{p}{q}$ , где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число, не равное нулю ( $p \in \mathbb{Z}$ , $q \in \mathbb{N}$ , $q \neq 0$ ).

Целые числа, натуральные числа, обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби и периодические десятичные дроби являются рациональными числами.

Примеры: $5$ ( $\frac{5}{1}$ ), $-3$ ( $\frac{-3}{1}$ ), $\frac{2}{3}$ , $0{,}75$ ( $\frac{3}{4}$ ), $0{,}333...$ ( $\frac{1}{3}$ ).

Представление рациональных чисел в виде десятичных дробей

Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной или периодической десятичной дроби.

Конечная десятичная дробь: Несократимые обыкновенные дроби, знаменатель которых содержит только простые множители $2$ и/или $5$ . Например, $\frac{3}{4} = 0{,}75$ .
Периодическая десятичная дробь: Несократимые обыкновенные дроби, знаменатель которых содержит простые множители, отличные от $2$ и $5$ . Например, $\frac{1}{3} = 0{,}333... = 0{,}(3)$ , $\frac{5}{11} = 0{,}4545... = 0{,}(45)$ .

Действия над рациональными числами

Сложение, вычитание, умножение и деление могут быть выполнены в множестве рациональных чисел, и результат всегда будет рациональным числом.

Действия над обыкновенными дробями: Для сложения и вычитания дроби приводят к общему знаменателю, затем складывают/вычитают числители. При умножении числитель умножается на числитель, знаменатель на знаменатель. При делении первая дробь умножается на обратную второй.
Действия над десятичными дробями: Выполняются аналогично действиям над целыми числами, с вниманием к положению запятой.

Сравнение рациональных чисел и их изображение на числовой оси

Рациональные числа можно сравнивать, приводя их к общему знаменателю (если это обыкновенные дроби) или переводя в десятичные дроби.

Каждому рациональному числу соответствует единственная точка на числовой оси. Однако на числовой оси, помимо рациональных, существуют и иррациональные числа.

Запомните

Рациональные числа — это числа вида $\frac{p}{q}$ ( $p \in \mathbb{Z}$ , $q \in \mathbb{N}$ , $q \neq 0$ ).
Целые числа, обыкновенные дроби, конечные и периодические десятичные дроби являются рациональными числами.
Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной или периодической десятичной дроби.
Множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль).

Разобранные примеры

Пример 1
Преобразуйте периодическую десятичную дробь $0{,}2(3)$ в обыкновенную.
Решение
Для преобразования периодической десятичной дроби в обыкновенную выполним следующие шаги:
1. Обозначим данное число как $x$ : $x = 0{,}2(3)$ .
2. Умножим на $10$ , чтобы сдвинуть запятую до начала периода: $10x = 2{,}(3)$ .
3. Умножим на $100$ , чтобы сдвинуть запятую на один период: $100x = 23{,}(3)$ .
4. Вычтем первое уравнение из второго: $100x - 10x = 23{,}(3) - 2{,}(3)$ $90x = 21$
5. Найдём $x$ : $x = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}$
Ответ: $\frac{7}{30}$
Пример 2
Вычислите значение выражения $\frac{3}{4} + 1{,}25 \cdot \frac{2}{5}$ .
Решение
Для вычисления выражения сначала переведём десятичную дробь в обыкновенную, а затем выполним действия в правильном порядке.
1. Переведём $1{,}25$ в обыкновенную дробь: $1{,}25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ .
2. Теперь запишем выражение и выполним умножение: $\frac{3}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{4} + \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{3}{4} + \frac{10}{20}$
3. Сократим дробь $\frac{10}{20}$ : $\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ .
4. Выполним сложение. Для этого приведём дроби к общему знаменателю (4): $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3+2}{4} = \frac{5}{4}$
Ответ: $\frac{5}{4}$ (или $1{,}25$ )

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какое из следующих чисел не является рациональным?
1. $\frac{5}{8}$
2. $-7$
3. $0{,}(12)$
4. $\sqrt{2}$
5. $1{,}4$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $\sqrt{2}$
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$ . $\sqrt{2}$ является иррациональным числом, так как его нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Остальные варианты являются рациональными: $\frac{5}{8}$ — обыкновенная дробь, $-7 = \frac{-7}{1}$ — целое число, $0{,}(12) = \frac{12}{99}$ — периодическая десятичная дробь, $1{,}4 = \frac{14}{10}$ — конечная десятичная дробь.
Представьте дробь $\frac{7}{12}$ в виде периодической десятичной дроби.
1. $0{,}58(3)$
2. $0{,}(583)$
3. $0{,}5(83)$
4. $0{,}583$
5. $0{,}5833$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $0{,}58(3)$
Чтобы перевести обыкновенную дробь $\frac{7}{12}$ в десятичную, разделим $7$ на $12$ : $7 \div 12 = 0{,}58333...$ Это записывается как $0{,}58(3)$ .
Расположите числа $A = 0{,}7$ , $B = \frac{3}{4}$ , $C = 0{,}(6)$ в порядке возрастания.
1. $C < A < B$
2. $A < C < B$
3. $B < A < C$
4. $C < B < A$
5. $A < B < C$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $C < A < B$
Чтобы сравнить числа, приведём их к одному формату, например, к десятичным дробям: $A = 0{,}7$ $B = \frac{3}{4} = 0{,}75$ $C = 0{,}(6) = 0{,}666...$ Сравнивая эти десятичные дроби: $0{,}666... < 0{,}7 < 0{,}75$ . Таким образом, порядок возрастания: $C < A < B$ .

Типичные ошибки

Считать иррациональные числа (например, $\sqrt{2}$ , $\pi$ ) рациональными. Рациональные числа — это только те, которые могут быть представлены в виде $\frac{p}{q}$ .
Делать ошибки при переводе периодических десятичных дробей в обыкновенные, особенно смешанных периодических дробей (например, $0{,}2(3)$ ).
Неправильно выполнять преобразования или нарушать порядок действий при работе с обыкновенными и десятичными дробями.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото