Обращение обыкновенной дроби в десятичную, десятичной дроби и периодической десятичной дроби в обыкновенную

Разобранные примеры

1. Пример 1

   Переведите дроби $\frac{7}{25}$ и $\frac{5}{6}$ в десятичные.

   Решение

   Для дроби $\frac{7}{25}$ можно умножить числитель и знаменатель на $4$: $\frac{7 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{28}{100} = 0.28$.

   Дробь $\frac{5}{6}$ переводим обычным делением: $5 : 6 = 0.8333... = 0.8(3)$.

2. Пример 2

   Переведите число $2.3(14)$ в обыкновенную дробь.

   Решение

   Целая часть остается $2$. В знаменателе дробной части пишем две девятки (так как в периоде две цифры $14$) и один ноль (так как до периода одна цифра $3$) — получаем $990$. В числителе вычитаем: $314 - 3 = 311$. Таким образом, $2.3(14) = 2\frac{311}{990}$.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

1. 1

   Представьте дробь $0.4(6)$ в виде обыкновенной дроби.

   1. A$\frac{46}{99}$
   2. B$\frac{7}{15}$
   3. C$\frac{14}{33}$
   4. D$\frac{46}{90}$
   5. E$\frac{23}{45}$
   Показать ответСкрыть ответ

   Правильный ответ: B $\frac{7}{15}$

   $0.4(6)$ — это смешанная периодическая дробь. В знаменателе пишем одну девятку и один ноль ($90$), а в числителе разность $46 - 4 = 42$. Сократив дробь $\frac{42}{90}$ на $6$, получаем $\frac{7}{15}$.

2. 2

   Какую из следующих дробей можно представить в виде конечной десятичной дроби?

   1. A$\frac{5}{12}$
   2. B$\frac{7}{15}$
   3. C$\frac{11}{40}$
   4. D$\frac{9}{14}$
   5. E$\frac{3}{22}$
   Показать ответСкрыть ответ

   Правильный ответ: C $\frac{11}{40}$

   Чтобы несократимую дробь можно было представить в виде конечной десятичной, в разложении ее знаменателя на простые множители должны быть только $2$ и $5$. У числа $40 = 2^3 \cdot 5$. В знаменателях остальных вариантов присутствуют множители $3, 7, 11$.

3. 3

   Найдите сумму $1.25 + 0.(3)$.

   1. A$\frac{19}{12}$
   2. B$\frac{17}{12}$
   3. C$\frac{15}{12}$
   4. D$\frac{5}{3}$
   5. E$\frac{4}{3}$
   Показать ответСкрыть ответ

   Правильный ответ: A $\frac{19}{12}$

   Переведем обе дроби в обыкновенные: $1.25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$. Периодическая дробь равна $0.(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Находим сумму: $\frac{5}{4} + \frac{1}{3} = \frac{15}{12} + \frac{4}{12} = \frac{19}{12}$.

Типичные ошибки

• Ошибки при выборе количества девяток и нулей в знаменателе при переводе смешанных периодических дробей (например, написание $99$ вместо $90$ для дроби $0.1(5)$).
• Проверка возможности представления дроби в виде конечной десятичной без предварительного сокращения (например, дробь $\frac{3}{15}$ можно сократить до $\frac{1}{5}$, после чего становится ясно, что она равна конечной десятичной дроби $0.2$).