Определение и основное свойство

Два числа являются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Например, $5$ и $1/5$ — взаимно обратные числа, так как $5 \cdot (1/5) = 1$ . Взаимно обратное число для любого числа $a$ записывается как $1/a$ (при условии, что $a \neq 0$ ). У нуля нет взаимно обратного числа, потому что ни одно число, умноженное на ноль, не даст 1.

Нахождение взаимно обратных чисел

Для нахождения взаимно обратных чисел применяются различные методы в зависимости от типа числа:

Для целых чисел: Взаимно обратное для целого числа (например, $a$ ) будет $1/a$ . Например, обратное для $7$ — это $1/7$ .
Для обыкновенных дробей: Взаимно обратное для обыкновенной дроби (например, $a/b$ ) находится путём замены числителя и знаменателя местами, то есть $b/a$ . Например, обратное для $3/4$ — это $4/3$ .
Для смешанных чисел: Смешанное число сначала необходимо преобразовать в неправильную дробь, а затем поменять местами числитель и знаменатель. Например, $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ , и обратное для него — $3/7$ .
Для десятичных дробей: Десятичную дробь сначала следует преобразовать в обыкновенную, а затем найти обратное число. Например, $0{,}25 = 1/4$ , и обратное для него — $4/1 = 4$ .

Применение взаимно обратных чисел

Взаимно обратные числа широко используются при делении дробей. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на число, обратное второй дроби: $(a/b) : (c/d) = (a/b) \cdot (d/c)$ . Например, $3/5 : 2/7 = 3/5 \cdot 7/2 = 21/10$ .

Запомните

Произведение двух взаимно обратных чисел равно 1: $a \cdot (1/a) = 1$ .
У нуля нет взаимно обратного числа.
Обратное для обыкновенной дроби находится путём замены числителя и знаменателя местами.
Чтобы найти обратное для смешанного числа, его сначала нужно преобразовать в неправильную дробь.
Чтобы найти обратное для десятичной дроби, её сначала нужно преобразовать в обыкновенную дробь.

Разобранные примеры

Пример 1
Найдите взаимно обратные числа для $3\frac{2}{5}$ и $0{,}125$ .
Решение
1. Преобразуем смешанное число $3\frac{2}{5}$ в неправильную дробь: $3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$ .
2. Взаимно обратное для $\frac{17}{5}$ находится путём замены числителя и знаменателя местами: $\frac{5}{17}$ .
3. Преобразуем десятичную дробь $0{,}125$ в обыкновенную: $0{,}125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$ .
4. Взаимно обратное для $\frac{1}{8}$ находится путём замены числителя и знаменателя местами: $\frac{8}{1} = 8$ .
Ответ: Обратное для $3\frac{2}{5}$ — $\frac{5}{17}$ , обратное для $0{,}125$ — $8$ .
Пример 2
Разделите число $\frac{4}{9}$ на $2\frac{2}{3}$ .
Решение
1. Чтобы выполнить деление, преобразуем смешанное число $2\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$ .
2. Теперь нам нужно разделить $\frac{4}{9}$ на $\frac{8}{3}$ . Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на число, обратное второй дроби. Обратное для $\frac{8}{3}$ — это $\frac{3}{8}$ .
3. Выполним умножение: $\frac{4}{9} : \frac{8}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 8} = \frac{12}{72}$ .
4. Сократим дробь: $\frac{12}{72} = \frac{1}{6}$ .
Ответ: $\frac{1}{6}$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Каково взаимно обратное число для $0{,}4$ ?
1. $2/5$
2. $5/2$
3. $-0{,}4$
4. $1/4$
5. $4$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $5/2$
$0{,}4 = 4/10 = 2/5$ . Взаимно обратное число для этой дроби получается заменой числителя и знаменателя местами: $5/2$ .
Какая пара чисел является взаимно обратной?
1. $1/3$ и $3$
2. $2$ и $1/4$
3. $-5$ и $1/5$
4. $0{,}5$ и $0{,}5$
5. $1$ и $0$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $1/3$ и $3$
Произведение взаимно обратных чисел равно 1. $1/3 \cdot 3 = 1$ . В других вариантах произведение не равно 1.
Чему равно произведение числа, обратного $1\frac{1}{2}$ , на $0{,}25$ ?
1. $1/6$
2. $3/8$
3. $2/3$
4. $1/2$
5. $1$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $1/6$
Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ . Обратное для него — $\frac{2}{3}$ . Десятичную дробь $0{,}25$ преобразуем в обыкновенную: $0{,}25 = \frac{1}{4}$ . Теперь найдём произведение обратного числа на $0{,}25$ : $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ .

Типичные ошибки

Путать взаимно обратные числа с противоположными числами (например, думать, что обратное для $5$ — это $-5$ ). Сумма противоположных чисел равна нулю, а произведение взаимно обратных равно 1.
Пытаться найти взаимно обратное число для нуля или записывать $1/0$ . У нуля нет взаимно обратного числа.
Забывать сначала преобразовать смешанные или десятичные дроби в обыкновенные при поиске обратного числа. Например, ошибочно записывать обратное для $2\frac{1}{3}$ как $2\frac{3}{1}$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото