Сложение и вычитание

Чтобы сложить два целых числа с одинаковыми знаками, нужно сложить их модули и поставить перед суммой общий знак. Например: $5 + 3 = 8$ ; $(-5) + (-3) = -8$ .

При сложении двух целых чисел с разными знаками из большего модуля вычитается меньший, а перед результатом ставится знак того числа, модуль которого больше. Например: $(-8) + 3 = -5$ ; $9 + (-4) = 5$ . Сумма противоположных чисел равна нулю: $a + (-a) = 0$ .

Вычитание можно свести к сложению. Чтобы вычесть из одного целого числа другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: $a - b = a + (-b)$ . Например: $7 - 10 = 7 + (-10) = -3$ ; $(-4) - (-6) = -4 + 6 = 2$ .

Умножение и деление

Произведение (или частное) двух целых чисел с одинаковыми знаками — положительное число. Для этого перемножают (или делят) их модули. Например: $(-4) \cdot (-5) = 20$ ; $(-18) : (-3) = 6$ .

Произведение (или частное) двух целых чисел с разными знаками — отрицательное число. В этом случае их модули перемножают (или делят) и перед результатом ставят знак минус. Например: $(-6) \cdot 3 = -18$ ; $20 : (-4) = -5$ .

Произведение нуля и любого целого числа равно нулю: $a \cdot 0 = 0$ . При делении нуля на любое отличное от нуля целое число получается нуль, но на нуль делить нельзя: $0 : a = 0$ ( $a \neq 0$ ).

Порядок действий

Порядок выполнения действий над целыми числами такой же, как и над натуральными: сначала выполняются действия в скобках, затем возведение в степень, далее слева направо умножение и деление, и в самом конце — сложение и вычитание. От перестановки мест нескольких последовательных слагаемых или множителей результат не меняется (переместительное свойство). Также для целых чисел верно распределительное свойство: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ .

Запомните

При сложении чисел с одинаковыми знаками складываются их модули, а при разных знаках находится разность модулей и ставится знак большего.
Произведение и частное двух чисел с одинаковыми знаками положительны, а с разными знаками — отрицательны ( $(-) \cdot (-) = +$ , $(-) \cdot (+) = -$ ).
Вычитание рассматривается как прибавление к уменьшаемому числа, противоположного вычитаемому: $a - b = a + (-b)$ .
Четная степень отрицательного числа — число положительное, а нечетная степень — отрицательное.

Разобранные примеры

Пример 1
Вычислите: $(-15) + (-8) - (-12) + 6$ .
Решение
1. Сначала упростим сложение и вычитание. Вычитание отрицательного числа можно записать как прибавление положительного: $-(-12) = +12$ .
2. Выражение принимает вид: $(-15) + (-8) + 12 + 6$ .
3. Сложим отрицательные и положительные числа отдельно: $(-15) + (-8) = -23$ . Сложим положительные: $12 + 6 = 18$ .
4. Теперь сложим эти результаты: $(-23) + 18 = -5$ .
Ответ: $-5$ .
Пример 2
Вычислите: $(-24) : 4 - 3 \cdot (-5) + (-2)^3$ .
Решение
1. Сначала выполним возведение в степень: $(-2)^3 = -8$ .
2. Теперь выполним умножение и деление: $(-24) : 4 = -6$ . Также $3 \cdot (-5) = -15$ . Но перед произведением стоит знак минус, то есть $-(-15) = +15$ .
3. Выражение становится следующим: $-6 + 15 + (-8)$ .
4. Сложим числа с одинаковыми знаками: $-6 + (-8) = -14$ .
5. Теперь прибавим оставшееся число: $-14 + 15 = 1$ .
Ответ: $1$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Найдите значение выражения $(x - y) \cdot z$ , если $x = -5$ , $y = 3$ и $z = -2$ .
1. $4$
2. $16$
3. $-16$
4. $-4$
5. $10$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $16$
1. Сначала вычислим значение в скобках: $x - y = -5 - 3 = -8$ .
2. Затем умножим полученный результат на $z$ : $(-8) \cdot (-2)$ .
3. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $(-8) \cdot (-2) = 16$ .
Значение какого из выражений положительно?
1. $(-4)^3 \cdot 2$
2. $(-5) \cdot (-3) \cdot (-2)$
3. $(-6) + (-4)$
4. $(-2)^4 + (-3)^2$
5. $(-8) : 2 - 5$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $(-2)^4 + (-3)^2$
A: $(-4)^3 = -64$ , $(-64) \cdot 2 = -128$ (отрицательно). B: Произведение трёх отрицательных чисел отрицательно: $15 \cdot (-2) = -30$ . C: Сумма двух отрицательных чисел отрицательна: $-10$ . D: $(-2)^4 = 16$ и $(-3)^2 = 9$ . $16 + 9 = 25$ (положительно). E: $-4 - 5 = -9$ (отрицательно). Таким образом, только вариант D положителен.
Вычислите: $\frac{(-12) : 3 - (-2) \cdot 5}{-2 + (-1)^3}$ .
1. $2$
2. $-2$
3. $-3$
4. $3$
5. $-4$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $-2$
1. Выполним умножение и деление в числителе: $(-12) : 3 = -4$ и $(-2) \cdot 5 = -10$ .
2. Выполним вычитание в числителе: $-4 - (-10) = -4 + 10 = 6$ .
3. Выполним возведение в степень в знаменателе: $(-1)^3 = -1$ .
4. Сложим числа в знаменателе: $-2 + (-1) = -3$ .
5. Разделим числитель на знаменатель: $\frac{6}{-3} = -2$ .

Типичные ошибки

Забывать о том, что при вычитании отрицательного числа два стоящих рядом минуса превращаются в плюс (например, записывать $5 - (-3)$ как $5 - 3$ ).
При сложении отрицательных чисел ошибочно применять правило умножения («минус на минус дает плюс») и получать положительный результат (например, писать $-3 - 4 = +7$ ).
Не обращать внимания на скобки при возведении отрицательного числа в степень: $-2^4 = -16$ , но $(-2)^4 = 16$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото