Числовая ось и координаты точек

Числовая ось — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта (0), положительное направление и единичный отрезок. Каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой оси, и наоборот. Число, указывающее положение этой точки, называется её координатой. Например, координата точки A обозначается как $x_A$ .

Формула расстояния между двумя точками

Если точка A на числовой оси имеет координату $x_1$ , а точка B — координату $x_2$ , то расстояние между этими двумя точками равно длине отрезка AB. Расстояние всегда принимает положительное или нулевое значение. Поэтому для нахождения расстояния используется абсолютная величина (модуль) разности координат.

Формула: $d = |x_2 - x_1|$ или $d = |x_1 - x_2|$ . Например, расстояние между точками A(3) и B(7) равно $|7-3| = |4| = 4$ . Расстояние между точками C(-2) и D(5) равно $|5 - (-2)| = |5+2| = |7| = 7$ . Расстояние между точками E(-4) и F(-1) равно $|-1 - (-4)| = |-1+4| = |3| = 3$ .

Свойства расстояния

Неотрицательность: Расстояние между двумя точками всегда неотрицательно, то есть $d \ge 0$ . Расстояние равно нулю только между совпадающими точками.
Симметричность: Расстояние от A до B равно расстоянию от B до A: $|x_2 - x_1| = |x_1 - x_2|$ .
Неравенство треугольника (для числовой оси): Для точек A, B, C, расположенных на числовой оси, если точка B находится между точками A и C, то выполняется равенство $AC = AB + BC$ . В общем случае $AC \le AB + BC$ .

Запомните

Расстояние между двумя точками на числовой оси равно модулю разности их координат.
Формула: $d = |x_2 - x_1|$ .
Расстояние всегда неотрицательно ( $d \ge 0$ ).
При вычислении расстояния важна абсолютная величина (модуль).

Разобранные примеры

Пример 1
Найдите расстояние между точками A(-8) и B(3) на числовой оси.
Решение
Применяем формулу расстояния: $d = |x_2 - x_1|$ . Здесь $x_1 = -8$ и $x_2 = 3$ . $d = |3 - (-8)| = |3 + 8| = |11| = 11$ . Или $d = |-8 - 3| = |-11| = 11$ . Ответ: 11.
Пример 2
Координата точки M на числовой оси равна -5. Если точка N находится на расстоянии 7 единиц от M, найдите координату точки N.
Решение
Координата точки M $x_M = -5$ . Обозначим координату точки N как $x_N$ . По формуле расстояния: $|x_N - x_M| = 7$ . $|x_N - (-5)| = 7$ $|x_N + 5| = 7$ . Это равенство может быть верным в двух случаях:
1. $x_N + 5 = 7 \Rightarrow x_N = 7 - 5 \Rightarrow x_N = 2$ .
2. $x_N + 5 = -7 \Rightarrow x_N = -7 - 5 \Rightarrow x_N = -12$ . Таким образом, у точки N есть две возможные координаты: 2 или -12. Ответ: 2 или -12.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Найдите расстояние между точками P(-12) и Q(-4) на числовой оси.
1. 8
2. -8
3. 16
4. -16
5. 4
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 8
Расстояние $d = |x_2 - x_1| = |-4 - (-12)| = |-4 + 12| = |8| = 8$ .
Точка A(x) находится на расстоянии 9 единиц от точки B(6). Найдите сумму возможных значений x.
1. 3
2. 15
3. -3
4. 12
5. 6
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D 12
$|x - 6| = 9$ . Значит, $x - 6 = 9$ или $x - 6 = -9$ . $x_1 = 9 + 6 = 15$ . $x_2 = -9 + 6 = -3$ . Возможные значения 15 и -3. Сумма $15 + (-3) = 12$ .
Чему равно расстояние на числовой оси от точки с координатой 0 до точки с координатой -7?
1. 0
2. -7
3. 7
4. 1
5. 14
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 7
Расстояние $d = |-7 - 0| = |-7| = 7$ .

Типичные ошибки

Забывать брать модуль разности координат, получая отрицательное расстояние. Расстояние никогда не может быть отрицательным.
Делать ошибки в знаках при вычитании координат, особенно при работе с отрицательными числами (например, писать $3 - 8$ вместо $3 - (-8)$ ).
Вычислять расстояние как модуль суммы координат (например, для $A(-3)$ и $B(5)$ писать $|-3+5|=2$ ; верно $|5-(-3)|=8$ ).

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото