Определение и свойства иррациональных чисел

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$ , где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Их десятичное представление является бесконечной непериодической дробью. Например, $\sqrt{2} \approx 1{,}41421356...$ , $\pi \approx 3{,}14159265...$ , $e \approx 2{,}71828182...$ являются иррациональными числами. Квадратный корень из любого натурального числа, которое не является полным квадратом (например, $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ ), иррационален. Кубические корни также могут быть иррациональными (например, $\sqrt[3]{2}$ ).

Действия над иррациональными числами

Над иррациональными числами можно выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако сумма, разность, произведение или частное двух иррациональных чисел не всегда являются иррациональными. Например, $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ (рациональное), $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ (рациональное), $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{4} = 2$ (рациональное). Но сумма, разность, произведение или частное рационального числа (отличного от нуля) и иррационального числа всегда иррациональны. Например, $2 + \sqrt{3}$ иррационально.

Действительные числа и числовая прямая

Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных (или вещественных) чисел. Действительные числа заполняют все точки числовой прямой. Каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой, и наоборот. Иррациональные числа заполняют "пробелы", расположенные между рациональными числами. Например, число $\sqrt{2}$ находится между 1 и 2, и его можно точно отметить на числовой прямой.

Запомните

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{p}{q}$ .
Их десятичное представление является бесконечной непериодической дробью.
Примеры: $\sqrt{2}$ , $\pi$ , $e$ . Корни из натуральных чисел, не являющихся полными квадратами, иррациональны.
Результат операций с двумя иррациональными числами может быть рациональным (например, $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ ).
Сумма, разность, произведение или частное рационального числа (не равного нулю) и иррационального числа всегда иррациональны.
Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел.

Разобранные примеры

Пример 1
Какие из следующих чисел иррациональны? $\frac{3}{7}$ , $-0{,}121212...$ , $\sqrt{9}$ , $\sqrt{7}$ , $0{,}3456...$ (цифры не повторяются и не заканчиваются).
Решение
1. $\frac{3}{7}$ рационально, так как является отношением двух целых чисел.
2. $-0{,}121212...$ — это периодическая десятичная дробь, которую можно записать как $-\frac{12}{99}$ , следовательно, она рациональна.
3. $\sqrt{9} = 3$ — целое число, следовательно, рационально.
4. $\sqrt{7}$ — квадратный корень из натурального числа, которое не является полным квадратом, следовательно, иррационально.
5. $0{,}3456...$ — бесконечная непериодическая десятичная дробь, следовательно, иррациональна.
Ответ: $\sqrt{7}$ и $0{,}3456...$ являются иррациональными числами.
Пример 2
Найдите значения выражений и определите, являются ли они иррациональными: а) $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$ б) $\sqrt{18} - 3\sqrt{2}$
Решение
1. а) $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$ . Результат равен 1, это рациональное число.
2. б) $\sqrt{18} - 3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 0$ . Результат равен 0, это рациональное число.
Ответ: Значения обоих выражений являются рациональными числами.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какое из следующих чисел является иррациональным?
1. $\frac{1}{3}$
2. $0{,}25$
3. $\sqrt{16}$
4. $\sqrt{10}$
5. $1{,}333...$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $\sqrt{10}$
$\sqrt{10}$ — это квадратный корень из натурального числа, которое не является полным квадратом. Остальные являются либо обыкновенной дробью ( $\frac{1}{3}$ ), либо конечной десятичной дробью ( $0{,}25$ ), либо периодической десятичной дробью ( $1{,}333... = \frac{4}{3}$ ), либо целым числом ( $\sqrt{16}=4$ ), то есть рациональными.
Значение какого выражения является иррациональным числом?
1. $(\sqrt{3})^2$
2. $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
3. $5 + \sqrt{4}$
4. $3 - \sqrt{5}$
5. $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $3 - \sqrt{5}$
A) $(\sqrt{3})^2 = 3$ (рациональное). B) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ (рациональное). C) $5 + \sqrt{4} = 5 + 2 = 7$ (рациональное). D) $3 - \sqrt{5}$ иррационально, так как разность рационального и иррационального числа иррациональна. E) $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$ (рациональное).
Расположите следующие числа в порядке возрастания: $A = \sqrt{5}$ , $B = 2{,}2$ , $C = \frac{7}{3}$ .
1. $B, A, C$
2. $A, B, C$
3. $C, B, A$
4. $A, C, B$
5. $B, C, A$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $B, A, C$
Запишем числа в виде приближенных десятичных дробей: $A = \sqrt{5} \approx 2{,}236...$ . $B = 2{,}2$ . $C = \frac{7}{3} \approx 2{,}333...$ . Сравнивая, получаем: $2{,}2 < 2{,}236... < 2{,}333...$ , то есть $B < A < C$ .

Типичные ошибки

Считать, что выражение под корнем, не являющееся полным квадратом, является рациональным числом (например, $\sqrt{8}$ ).
Думать, что сумма, разность, произведение или частное двух иррациональных чисел всегда иррациональны. Например, $\sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$ или $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ являются рациональными.
Считать число $\pi$ рациональным, используя его приближенные значения, такие как $3{,}14$ или $\frac{22}{7}$ . Число $\pi$ всегда иррационально.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото