Tam ədədlər çoxluğu və əks ədədlər

Natural ədədlər ( $1, 2, 3, \dots$ ), onların əksi olan mənfi ədədlər ( $-1, -2, -3, \dots$ ) və $0$ (sıfır) tam ədədlər çoxluğunu təşkil edir. Tam ədədlər çoxluğu $\mathbb{Z}$ hərfi ilə işarə olunur: $\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$ . Sıfır nə müsbət, nə də mənfi ədəddir. Yalnız işarəsinə görə fərqlənən ədədlərə əks ədədlər deyilir (məsələn, $5$ və $-5$ ). $0$ -ın əksi elə $0$ -dır.

Ədəd oxu, modul və müqayisə

Üzərində hesablama başlanğıcı ( $0$ nöqtəsi), istiqamət və vahid parça seçilmiş düz xəttə ədəd oxu deyilir. Sıfırdan sağda müsbət, solda isə mənfi ədədlər yerləşir.

Ədədin modulu (mütləq qiyməti) ədəd oxunda hesablama başlanğıcından həmin ədədə uyğun nöqtəyə qədər olan məsafədir. Məsafə mənfi ola bilməz: $|5| = 5$ , $|-5| = 5$ , $|0| = 0$ .

Müqayisə qaydaları:

İstənilən müsbət ədəd $0$ -dan və istənilən mənfi ədəddən böyükdür.
İstənilən mənfi ədəd $0$ -dan kiçikdir.
İki mənfi ədəddən modulu kiçik olan ədəd böyükdür ( $-3 > -7$ , çünki $|-3| < |-7|$ ).

Tam ədədlər üzərində əməllər

Toplama: İki eyni işarəli ədədi topladıqda modullar toplanır və ortaq işarə yazılır ( $-4 + (-5) = -9$ ). Müxtəlif işarəli ədədləri topladıqda isə böyük moduldan kiçik modul çıxılır və böyük modulun işarəsi yazılır ( $-8 + 3 = -5$ ). Əks ədədlərin cəmi $0$ -a bərabərdir: $a + (-a) = 0$ .

Çıxma: Bir ədəddən digərini çıxmaq, azalanın üzərinə çıxılanın əksini əlavə etmək deməkdir: $a - b = a + (-b)$ (məsələn, $-5 - (-2) = -5 + 2 = -3$ ).

Vurma və bölmə: Eyni işarəli iki ədədin hasili (və ya nisbəti) müsbət, müxtəlif işarəli iki ədədin hasili (və ya nisbəti) isə mənfidir. Məsələn: $(-4) \cdot (-3) = 12$ , $15 : (-3) = -5$ .

Yadda saxla

$\mathbb{Z}$ — tam ədədlər çoxluğudur: natural ədədlər, onların əksləri və sıfır.
Ədədin modulu məsafədir, heç vaxt mənfi ola bilməz: $|-a| = a$ ( $a > 0$ ).
İki mənfi ədəddən modulu kiçik olan ədəd böyükdür ( $-10 < -2$ ).
Eyni işarəli ədədlərin hasili və nisbəti müsbət ( $+ \cdot + = +$ , $- \cdot - = +$ ), müxtəlif işarəli ədədlərdə isə mənfidir ( $+ \cdot - = -$ ).
Əks ədədlərin cəmi sıfırdır: $a + (-a) = 0$ .

Həll olunmuş misallar

Misal 1
$|-15| - |-7| + |-3| \cdot 2$ ifadəsinin qiymətini hesablayın.
Həlli
1. Hər bir ədədin modulunu tapırıq: $|-15| = 15$ , $|-7| = 7$ , $|-3| = 3$ .
2. Alınan qiymətləri ifadədə yerinə yazırıq: $15 - 7 + 3 \cdot 2$ .
3. Əməllər sırasına görə əvvəlcə vurma yerinə yetirilir: $3 \cdot 2 = 6$ .
4. Sonra toplama və çıxma (soldan sağa): $15 - 7 + 6 = 8 + 6 = 14$ .
Cavab: 14
Misal 2
$x$ -in hansı tam qiymətlərində $-4 < x \le 2$ bərabərsizliyi ödənilir? Bu tam qiymətlərin cəmini tapın.
Həlli
1. Verilmiş bərabərsizliyi ödəyən tam ədədlər $-4$ -dən böyük, lakin $2$ -yə bərabər və ya kiçik olmalıdır. Bunlar: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$ ədədləridir.
2. Bu ədədlərin cəmini tapaq: $(-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2$ .
3. $-2$ və $2$ , $-1$ və $1$ əks ədədlər olduğu üçün cəmləri $0$ -dır. Yerdə qalan tək ədəd $-3$ -dür.
Cavab: Bərabərsizliyi ödəyən tam qiymətlər: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$ ; onların cəmi: $-3$

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Hesablayın: $-18 + 24 : (-6) - (-5)$
1. $-23$
2. $-17$
3. $-19$
4. $-7$
5. $-13$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $-17$
Əməllər sırasına görə əvvəlcə bölmə yerinə yetirilir: $24 : (-6) = -4$ . İfadəmiz olur: $-18 + (-4) - (-5)$ . Toplama və çıxmanı yerinə yetiririk: $-18 + (-4) = -22$ ; $-22 - (-5) = -22 + 5 = -17$ .
$|x-4| = 6$ tənliyinin kökləri cəmini tapın.
1. $8$
2. $10$
3. $2$
4. $6$
5. $4$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: A $8$
Modulun xassəsinə görə, $x-4 = 6$ və ya $x-4 = -6$ . Birinci tənlikdən $x = 10$ , ikinci tənlikdən isə $x = -2$ alınır. Köklərin cəmi: $10 + (-2) = 8$ .
Hansı bərabərsizlik həmişə doğrudur (burada $a$ mənfi, $b$ isə müsbət tam ədəddir)?
1. $a + b < 0$
2. $a - b > 0$
3. $a \cdot b > 0$
4. $a - b < 0$
5. $|a| < |b|$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $a - b < 0$
$a$ mənfi, $b$ isə müsbət ədəddir. Mənfi ədəddən müsbət ədəd çıxdıqda (məsələn, $-2 - 3 = -5$ ) nəticə həmişə mənfi olur, yəni $a - b < 0$ . $a+b$ və $|a| < |b|$ ifadələrinin qiyməti ədədlərdən asılıdır. Hasilləri isə mənfidir.

Tipik səhvlər

İki mənfi ədədi toplayarkən hasil qaydası ilə qarışdıraraq nəticəni müsbət yazmaq ( $-3 + (-4) = 7$ kimi səhvlər).
Böyük mənfi ədədləri modulca böyük olduğuna görə müqayisədə böyük hesab etmək ( $-10 > -2$ kimi).
Modul işarəsindən mənfi ədəd çıxarmaq ( $|-5| = -5$ kimi). Modul həmişə müsbət və ya sıfırdır.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et