Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше. Например, сравним $\frac{5}{7}$ и $\frac{3}{7}$ . Знаменатель обеих дробей равен 7. Так как $5 > 3$ , то $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$ . Наглядно: 5 частей из 7 — это больше, чем 3 части из 7 того же целого.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше. Например, сравним $\frac{4}{5}$ и $\frac{4}{9}$ . Числитель обеих дробей равен 4. Так как $5 < 9$ , то $\frac{4}{5} > \frac{4}{9}$ . Ведь чем на меньшее число частей мы делим целое, тем больше каждая часть.

Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, их нужно привести либо к общему знаменателю, либо к общему числителю. Приведение к общему знаменателю — более распространённый метод. Например, сравним $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$ . НОК для 4 и 6 равно 12. Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 3: $\frac{9}{12}$ . Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на 2: $\frac{10}{12}$ . Так как $\frac{10}{12} > \frac{9}{12}$ , то $\frac{5}{6} > \frac{3}{4}$ .

Метод перекрёстного умножения

Для быстрого сравнения двух дробей можно использовать метод перекрёстного умножения. Сравнивая $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ , находим произведения $a \cdot d$ и $b \cdot c$ . Если $a \cdot d > b \cdot c$ , то $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$ . Например, для $\frac{4}{7}$ и $\frac{5}{8}$ : $4 \cdot 8 = 32$ , $7 \cdot 5 = 35$ . Так как $32 < 35$ , получаем $\frac{4}{7} < \frac{5}{8}$ .

Запомните

При одинаковых знаменателях: больше та дробь, числитель которой больше.
При одинаковых числителях: больше та дробь, знаменатель которой меньше.
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их можно привести к общему знаменателю или числителю.
Метод перекрёстного умножения: для $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ сравниваются произведения $a \cdot d$ и $b \cdot c$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Расположите следующие дроби в порядке возрастания: $a = \frac{2}{3}$ , $b = \frac{3}{4}$ , $c = \frac{5}{8}$ .
Решение
1. Приведём дроби к общему знаменателю. НОК для 3, 4 и 8 равно 24.
2. Запишем дроби с новым знаменателем: $a = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}$ $b = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{18}{24}$ $c = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$
3. Сравним числители дробей с одинаковым знаменателем: $15 < 16 < 18$ , следовательно $c < a < b$ .
Ответ: $c < a < b$ .
Пример 2
Сравните дроби $x = \frac{11}{12}$ , $y = \frac{13}{14}$ и $z = \frac{15}{16}$ .
Решение
1. Обратите внимание, что во всех этих дробях числитель на 1 меньше знаменателя. Такие дроби можно сравнивать, дополняя их до 1: $x = 1 - \frac{1}{12}$ , $y = 1 - \frac{1}{14}$ , $z = 1 - \frac{1}{16}$
2. Сравним дроби $\frac{1}{12}$ , $\frac{1}{14}$ и $\frac{1}{16}$ . Числители одинаковы, больше та, у которой знаменатель меньше: $\frac{1}{12} > \frac{1}{14} > \frac{1}{16}$
3. Чем меньшее число мы вычитаем из 1, тем больше разность. Значит, $1 - \frac{1}{16}$ будет самым большим значением.
4. Таким образом, $x < y < z$ .
Ответ: $x < y < z$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какая из дробей самая большая?
1. $\frac{7}{9}$
2. $\frac{7}{11}$
3. $\frac{7}{8}$
4. $\frac{7}{10}$
5. $\frac{7}{12}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $\frac{7}{8}$
Из дробей с одинаковыми числителями самая большая та, знаменатель которой самый маленький. Среди знаменателей данных дробей самый маленький — 8. Значит, $\frac{7}{8}$ — самая большая дробь.
Какое соотношение между дробями $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$ верно?
1. $\frac{3}{5} < \frac{4}{7}$
2. $\frac{3}{5} = \frac{4}{7}$
3. $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$
4. $\frac{3}{5} \le \frac{4}{7}$
5. Невозможно определить
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$
Используем метод перекрёстного умножения: $3 \cdot 7 = 21$ и $5 \cdot 4 = 20$ . Так как $21 > 20$ , то $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$ .
Расположите дроби $x = \frac{5}{6}$ , $y = \frac{7}{8}$ , $z = \frac{3}{4}$ в порядке убывания.
1. $y, x, z$
2. $z, x, y$
3. $x, y, z$
4. $y, z, x$
5. $z, y, x$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $y, x, z$
Общий знаменатель 24: $x = \frac{20}{24}$ , $y = \frac{21}{24}$ , $z = \frac{18}{24}$ . Порядок убывания (от большего к меньшему): $\frac{21}{24}, \frac{20}{24}, \frac{18}{24}$ , то есть $y, x, z$ .

Типичные ошибки

По невнимательности при сравнении дробей с одинаковым числителем считать большей ту дробь, у которой больше знаменатель (на самом деле она меньше).
При сравнении отрицательных дробей считать математически большей ту, у которой модуль больше (для отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше).

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото