Правильные и неправильные дроби

Разобранные примеры

1. Пример 1

   Найдите сумму натуральных значений $a$, при которых дробь $\frac{3a-7}{5}$ является правильной, а дробь $\frac{11}{2a+1}$ — неправильной.

   Решение

   По определению дробей:

   1. $\frac{3a-7}{5}$ — правильная дробь, значит, числитель должен быть положительным и меньше знаменателя: $0 < 3a-7 < 5$. Прибавим ко всем частям 7: $7 < 3a < 12$. Разделим на 3: $2\frac{1}{3} < a < 4$. Так как $a$ — натуральное число, возможен только вариант $a=3$.

   2. $\frac{11}{2a+1}$ — неправильная дробь, значит, числитель не меньше знаменателя: $11 \ge 2a+1$ и $2a+1 > 0$. $2a \le 10 \implies a \le 5$. Натуральные значения $a$: 1, 2, 3, 4, 5.

   Единственное натуральное значение, удовлетворяющее обоим условиям, — $a=3$.

   Ответ: Поскольку требуется найти сумму и есть только одно значение (3), сумма равна 3.

2. Пример 2

   Выделите целую часть из дроби $\frac{43}{8}$ и запишите полученное смешанное число в виде суммы целой и дробной частей.

   Решение

   1. Делим 43 на 8: $43 : 8 = 5$ (остаток 3).
   2. Значит, целая часть равна 5, а остаток — 3.
   3. Дробь записывается так: $5\frac{3}{8}$.
   4. Смешанное число представляет собой сумму целой и дробной частей: $5\frac{3}{8} = 5 + \frac{3}{8}$.

   Ответ: $5\frac{3}{8}$; $5 + \frac{3}{8}$.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

1. 1

   Сколько из следующих дробей являются неправильными? $\frac{4}{7}, \frac{8}{8}, \frac{11}{5}, \frac{2}{9}, \frac{15}{14}, \frac{1}{2}$

   1. A1
   2. B2
   3. C3
   4. D4
   5. E5
   Показать ответСкрыть ответ

   Правильный ответ: C 3

   У неправильных дробей числитель равен знаменателю или больше его. Среди данных дробей $\frac{8}{8}$, $\frac{11}{5}$ и $\frac{15}{14}$ — неправильные (3 штуки). Остальные ($\frac{4}{7}$, $\frac{2}{9}$, $\frac{1}{2}$) — правильные дроби.

2. 2

   Переведите смешанное число $4\frac{5}{9}$ в неправильную дробь.

   1. A$\frac{20}{9}$
   2. B$\frac{36}{9}$
   3. C$\frac{41}{9}$
   4. D$\frac{45}{9}$
   5. E$\frac{49}{9}$
   Показать ответСкрыть ответ

   Правильный ответ: C $\frac{41}{9}$

   По правилу целая часть (4) умножается на знаменатель (9) и к результату прибавляется числитель (5): $4 \cdot 9 + 5 = 36 + 5 = 41$. Знаменатель остается прежним, получается $\frac{41}{9}$.

3. 3

   Найдите количество возможных натуральных значений $n$, при которых дробь $\frac{2n-3}{7}$ является правильной, а дробь $\frac{9}{n+1}$ — неправильной.

   1. A1
   2. B2
   3. C3
   4. D4
   5. E5
   Показать ответСкрыть ответ

   Правильный ответ: C 3

   1. Чтобы $\frac{2n-3}{7}$ была правильной дробью, нужно $0 < 2n-3 < 7 \implies 3 < 2n < 10 \implies 1{,}5 < n < 5$. Натуральные значения: 2, 3, 4.
   2. Чтобы $\frac{9}{n+1}$ была неправильной, нужно $n+1 \le 9 \implies n \le 8$ (и $n+1>0$). Натуральные значения, удовлетворяющие обоим условиям: 2, 3 и 4. Их количество равно 3.

Типичные ошибки

• При переводе смешанного числа в неправильную дробь складывать знаменатель с целой частью и умножать на числитель. (Правильно: целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель).
• Считать дробь, у которой числитель и знаменатель равны (например, $\frac{5}{5}$), правильной. Она является неправильной и равна 1.
• Забывать о том, что числитель дроби с переменной должен быть положительным (если речь идет о натуральных числах). Например, если $\frac{x-4}{5}$ — правильная дробь, то $x-4 > 0$.