Определение основного свойства дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то значение дроби не изменится. В виде формулы это записывается так: $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ и $\frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c}$ ( $c \neq 0$ ). Например, если числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{2}$ умножить на 3, мы получим $\frac{3}{6}$ . Если взять половину целого предмета или поделить его на 6 частей и взять 3 из них, то мы получим одно и то же количество.

Применение свойства: сокращение и расширение

У этого свойства есть два главных применения: расширение дроби и её сокращение. При расширении мы умножаем числитель и знаменатель на одно и то же число. Это нужно, чтобы привести дроби к общему знаменателю. При сокращении мы делим числитель и знаменатель на их общий делитель. Например, в дроби $\frac{12}{16}$ и 12, и 16 делятся на 4: $\frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4}$ .

Запомните

Значение дроби не меняется при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число ( $c \neq 0$ ): $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ .
Значение дроби не меняется при делении числителя и знаменателя на одно и то же число ( $c \neq 0$ ): $\frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c}$ .
Расширение дроби используется для приведения к общему знаменателю, а сокращение — для упрощения дроби.

Разобранные примеры

Пример 1
Найдите $x$ из равенства $\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$ .
Решение
1. Знаменатель дроби в правой части равенства равен 20. Знаменатель в левой части равен 5.
2. Чтобы узнать, на какое число умножили 5, делим 20 на 5: $20 : 5 = 4$ . Значит, числитель и знаменатель дроби умножили на 4.
3. По основному свойству дроби, если знаменатель умножен на 4, то и числитель нужно умножить на 4: $x = 3 \cdot 4 = 12$ .
Ответ: $x = 12$ .
Пример 2
Сократите дробь $\frac{24}{36}$ на наибольший общий делитель.
Решение
1. Найдём НОД чисел 24 и 36. Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Наибольший общий делитель (НОД) равен 12.
2. Используя основное свойство дроби, делим и числитель, и знаменатель на 12.
3. $\frac{24 : 12}{36 : 12} = \frac{2}{3}$ .
Ответ: $\frac{2}{3}$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Чему равен $y$ , если $\frac{4}{7} = \frac{28}{y}$ ?
1. 49
2. 42
3. 35
4. 28
5. 56
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 49
Числитель изменился с 4 до 28, то есть увеличился в $28 : 4 = 7$ раз. По основному свойству дроби знаменатель тоже должен увеличиться в 7 раз: $y = 7 \cdot 7 = 49$ .
Какая из следующих дробей не равна $\frac{2}{3}$ ?
1. $\frac{4}{6}$
2. $\frac{10}{15}$
3. $\frac{14}{21}$
4. $\frac{16}{24}$
5. $\frac{15}{20}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E $\frac{15}{20}$
Вариант A: $\frac{4}{6} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$ , B: $\frac{10}{15} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$ , C: $\frac{14}{21} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7}$ , D: $\frac{16}{24} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8}$ . Но в варианте E при сокращении дроби $\frac{15}{20}$ на 5 мы получим $\frac{3}{4}$ , что не равно $\frac{2}{3}$ .
Решите уравнение $\frac{x - 2}{15} = \frac{4}{5}$ .
1. 12
2. 14
3. 10
4. 8
5. 16
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 14
Знаменатель дроби справа равен 5, а слева — 15. Значит, нужно расширить дробь $\frac{4}{5}$ , умножив её числитель и знаменатель на 3: $\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$ . Таким образом, получаем $\frac{x - 2}{15} = \frac{12}{15}$ . Так как знаменатели равны, то и числители должны быть равны: $x - 2 = 12$ , откуда находим $x = 14$ .

Типичные ошибки

Ошибочно считать, что значение дроби не меняется при прибавлении или вычитании одного и того же числа из числителя и знаменателя. Основное свойство дроби применимо только к умножению и делению. Например, $\frac{1}{2} \neq \frac{1+1}{2+1} = \frac{2}{3}$ .
В равенстве умножать только числитель или только знаменатель на число, забывая про вторую часть дроби.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото