Наименьший общий знаменатель и дополнительный множитель

Чтобы привести дроби с разными знаменателями к общему знаменателю, нужно найти их общее кратное. Для более простых вычислений выбирают наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это число называют наименьшим общим знаменателем.

Число, на которое нужно умножить числитель и знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель, называется дополнительным множителем. При умножении числителя и знаменателя на это число значение дроби не меняется (основное свойство дроби). Дополнительный множитель находят делением общего знаменателя на знаменатель данной дроби.

Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно выполнить следующие шаги:

Найти НОК знаменателей данных дробей, которое и будет наименьшим общим знаменателем.
Разделить найденный общий знаменатель на знаменатель каждой дроби, чтобы найти дополнительные множители.
Умножить числитель каждой дроби на её дополнительный множитель и записать в числителе, а знаменатель оставить равным общему знаменателю.

Например, приведём дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$ к общему знаменателю. $\text{НОК}(4, 6) = 12$ . Для $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель $12 : 4 = 3$ , а для $\frac{5}{6}$ — $12 : 6 = 2$ . Получаем дроби $\frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{9}{12}$ и $\frac{5 \cdot 2}{12} = \frac{10}{12}$ .

Дроби со взаимно простыми или кратными знаменателями

Если знаменатели — взаимно простые числа: Наименьший общий знаменатель равен их произведению. Например, для $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{5}$ общий знаменатель равен $3 \cdot 5 = 15$ . Дополнительные множители определяются крест-накрест.
Если один знаменатель делится на другой без остатка: Больший знаменатель и является наименьшим общим знаменателем. Например, для $\frac{5}{12}$ и $\frac{1}{4}$ , число 12 делится на 4, поэтому общий знаменатель равен 12. Дополнительный множитель второй дроби будет $12 : 4 = 3$ .

Запомните

Для приведения дробей с разными знаменателями к общему нужно найти НОК их знаменателей (наименьший общий знаменатель).
При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число (дополнительный множитель) получается равная ей дробь.
Если знаменатели взаимно простые, общий знаменатель равен их произведению. Если один делится на другой, то большему из них.
Приведение дробей к общему знаменателю позволяет легко сравнивать их (больше та, у которой числитель больше), а также складывать и вычитать.

Разобранные примеры

Пример 1
Приведите дроби $\frac{7}{15}$ , $\frac{5}{12}$ и $\frac{3}{20}$ к наименьшему общему знаменателю.
Решение
1. Найдём НОК знаменателей (15, 12 и 20). Наименьшее число, которое делится на все три знаменателя — это 60 ( $\text{НОК}(15, 12, 20) = 60$ ). Общий знаменатель равен 60.
2. Найдём дополнительный множитель для каждой дроби:
- Для первой дроби: $60 : 15 = 4$ .
- Для второй дроби: $60 : 12 = 5$ .
- Для третьей дроби: $60 : 20 = 3$ .
1. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель:
- $\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60}$
- $\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$
- $\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{9}{60}$
Ответ: $\frac{28}{60}$ , $\frac{25}{60}$ и $\frac{9}{60}$ .
Пример 2
Сравните дроби $\frac{5}{18}$ и $\frac{7}{24}$ .
Решение
1. Чтобы сравнить дроби, приведём их к наименьшему общему знаменателю.
2. Найдём НОК 18 и 24: $18 = 2 \cdot 3^2$ , $24 = 2^3 \cdot 3$ . $\text{НОК}(18, 24) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ .
3. Вычислим дополнительные множители: для $\frac{5}{18}$ это $72 : 18 = 4$ , для $\frac{7}{24}$ это $72 : 24 = 3$ .
4. Приведём дроби к общему знаменателю:
- $\frac{5}{18} = \frac{5 \cdot 4}{72} = \frac{20}{72}$
- $\frac{7}{24} = \frac{7 \cdot 3}{72} = \frac{21}{72}$
1. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше: так как $21 > 20$ , то $\frac{21}{72} > \frac{20}{72}$ , то есть $\frac{7}{24} > \frac{5}{18}$ .
Ответ: $\frac{5}{18} < \frac{7}{24}$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Найдите наименьший общий знаменатель дробей $\frac{3}{14}$ и $\frac{4}{21}$ .
1. 42
2. 84
3. 294
4. 63
5. 21
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 42
Нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 14 и 21. $14 = 2 \cdot 7$ , $21 = 3 \cdot 7$ . $\text{НОК}(14, 21) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ . Значит, наименьший общий знаменатель равен 42.
Если дроби $\frac{11}{24}$ и $\frac{7}{36}$ привести к наименьшему общему знаменателю, чему будет равна сумма их числителей?
1. 18
2. 47
3. 53
4. 65
5. 33
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 47
Наименьший общий знаменатель (НОК) для 24 и 36 равен 72. Для первой дроби дополнительный множитель $72 : 24 = 3$ , числитель становится $11 \cdot 3 = 33$ . Для второй дроби дополнительный множитель $72 : 36 = 2$ , числитель становится $7 \cdot 2 = 14$ . Сумма числителей: $33 + 14 = 47$ .
При приведении какой пары дробей к одинаковому (наименьшему) общему знаменателю их дополнительные множители будут равны 5 и 3 соответственно?
1. $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{3}$
2. $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$
3. $\frac{2}{9}$ и $\frac{4}{15}$
4. $\frac{3}{10}$ и $\frac{7}{15}$
5. $\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{18}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $\frac{2}{9}$ и $\frac{4}{15}$
Знаменатели данных дробей равны 9 и 15. Их НОК равен 45. Дополнительный множитель для первой дроби $45 : 9 = 5$ , а для второй дроби $45 : 15 = 3$ .

Типичные ошибки

Забыть умножить числитель на дополнительный множитель при приведении дроби к общему знаменателю (изменение только знаменателя).
Всегда перемножать знаменатели вместо нахождения наименьшего общего знаменателя. Хотя это иногда даёт правильный результат, такой способ неоправданно усложняет вычисления (особенно при больших знаменателях).

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото