Что такое сокращение дроби?

Согласно основному свойству дроби, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число (отличное от нуля), значение дроби не изменится: $\frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c}$ . Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель (отличный от 1) называется сокращением дроби. Например, если разделить числитель и знаменатель дроби $\frac{12}{18}$ на 2 (сократить), мы получим $\frac{6}{9}$ : $\frac{12}{18} = \frac{6}{9}$ .

Несократимые дроби

Если числитель и знаменатель дроби — взаимно простые числа, то есть у них нет общих делителей кроме 1, такая дробь называется несократимой. Например, дроби $\frac{3}{5}$ , $\frac{7}{8}$ , $\frac{11}{15}$ являются несократимыми. Любую дробь можно привести к несократимому виду путём полного сокращения.

Способы сокращения

Чтобы привести дробь к несократимому виду, используются два способа:

Постепенное сокращение: Числитель и знаменатель последовательно делятся на небольшие общие делители. Например: $\frac{24}{36} = \frac{12}{18} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .
Полное сокращение (с помощью НОД): Числитель и знаменатель делятся на их Наибольший Общий Делитель (НОД). Например, для 24 и 36 $\mathrm{НОД}(24, 36) = 12$ . Если сразу сократить дробь на 12: $\frac{24}{36} = \frac{24 : 12}{36 : 12} = \frac{2}{3}$ . Этот способ короче.

Запомните

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от 1, — это сокращение дроби.
Дроби, числитель и знаменатель которых взаимно просты, называются несократимыми.
Для полного сокращения дроби нужно разделить числитель и знаменатель на их НОД: $\frac{a}{b} = \frac{a : \mathrm{НОД}(a, b)}{b : \mathrm{НОД}(a, b)}$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Полностью сократите дробь $\frac{84}{126}$ .
Решение
1-й способ (через НОД): Найдём $\mathrm{НОД}(84, 126)$ . $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ , $126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$ . $\mathrm{НОД}(84, 126) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ . Разделим обе части дроби на 42: $\frac{84 : 42}{126 : 42} = \frac{2}{3}$ . 2-й способ (постепенно): $\frac{84}{126} = \frac{42}{63} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$ . Ответ: $\frac{2}{3}$ .
Пример 2
Вычислите и сократите дробь $\frac{15 \cdot 14 + 15 \cdot 6}{25 \cdot 16}$ .
Решение
Сначала вынесем общий множитель (15) в числителе за скобки, а затем сократим одинаковые множители. $\frac{15 \cdot (14 + 6)}{25 \cdot 16} = \frac{15 \cdot 20}{25 \cdot 16}$ . Сократим 15 и 25 на 5 (в числителе останется 3, в знаменателе 5). Сократим 20 и 16 на 4 (в числителе останется 5, в знаменателе 4). Получаем: $\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 4}$ . Теперь сократим пятёрки в числителе и знаменателе. В результате останется $\frac{3}{4}$ . Ответ: $\frac{3}{4}$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какая из следующих дробей является несократимой?
1. $\frac{21}{35}$
2. $\frac{18}{27}$
3. $\frac{15}{28}$
4. $\frac{39}{52}$
5. $\frac{24}{32}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $\frac{15}{28}$
У несократимой дроби числитель и знаменатель должны быть взаимно простыми числами. 15 и 28 — взаимно простые. Остальные сокращаются: $\frac{21}{35}$ (на 7), $\frac{18}{27}$ (на 9), $\frac{39}{52}$ (на 13), $\frac{24}{32}$ (на 8).
Сократите дробь $\frac{60}{144}$ .
1. $\frac{5}{12}$
2. $\frac{5}{14}$
3. $\frac{5}{16}$
4. $\frac{3}{8}$
5. $\frac{7}{12}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $\frac{5}{12}$
Дробь нужно сократить полностью. $\mathrm{НОД}(60, 144) = 12$ . $\frac{60 : 12}{144 : 12} = \frac{5}{12}$ .
Вычислите и сократите дробь $\frac{8 \cdot 9 - 8 \cdot 3}{16 \cdot 15}$ .
1. $\frac{1}{2}$
2. $\frac{1}{4}$
3. $\frac{3}{5}$
4. $\frac{1}{5}$
5. $\frac{2}{5}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $\frac{1}{5}$
Вынесем 8 за скобки в числителе: $\frac{8(9 - 3)}{16 \cdot 15} = \frac{8 \cdot 6}{16 \cdot 15}$ . Сократив 8 и 16 на 8, получим в знаменателе 2: $\frac{6}{2 \cdot 15}$ . Сократим 6 и 15 на 3: $\frac{2}{2 \cdot 5}$ . Наконец, сократив двойки, получим $\frac{1}{5}$ .

Типичные ошибки

Сокращение слагаемых в выражениях, состоящих только из сложения/вычитания. Например, нельзя сокращать двойки в дроби $\frac{2 + 3}{2 + 5}$ . Сокращать можно только множители.
Частичное сокращение дроби и оставление её в качестве окончательного ответа (например, написать $\frac{12}{18}$ вместо $\frac{24}{36}$ и остановиться). В тестах всегда требуется найти полностью сокращённый ответ.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото