Определение прямо пропорциональных величин

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. То есть их отношение остаётся постоянным. Например, если величина $y$ прямо пропорциональна величине $x$ , это означает, что выполняется условие $\frac{y}{x} = k$ , где $k$ — постоянное число, называемое коэффициентом пропорциональности. $k \neq 0$ . Отсюда мы получаем формулу $y = kx$ . Пример: При постоянной скорости автомобиля пройденный путь $(S)$ прямо пропорционален затраченному времени $(t)$ : $S = v t$ , где $v$ — скорость, является коэффициентом пропорциональности.

Свойства и график прямой пропорциональности

Отношение прямо пропорциональных величин постоянно. Если $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ — соответствующие значения прямо пропорциональных величин, то $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = k$ . Из этого равенства составляется пропорция. Функция прямой пропорциональности имеет вид $y = kx$ . Графиком этой функции является прямая линия, проходящая через начало координат (0,0). Коэффициент пропорциональности $k$ выражает тангенс угла, который прямая образует с осью $Ox$ ( $k = \operatorname{tg}\alpha$ ). Если $k > 0$ , то с увеличением $x$ величина $y$ также увеличивается. Если $k < 0$ , то с увеличением $x$ величина $y$ уменьшается (в этом случае отношение величин будет отрицательной константой, но в школьной математике в основном рассматриваются положительные величины). Примеры прямо пропорциональных величин: количество товаров, купленных по одной цене, и их общая стоимость; пройденный путь тела, движущегося с постоянной скоростью, и затраченное время; длина окружности и её радиус ( $C = 2\pi r$ ).

Запомните

Если две величины прямо пропорциональны, их отношение постоянно: $\frac{y}{x} = k$ .
Это выражается функцией $y = kx$ , где $k$ — коэффициент пропорциональности.
График функции прямой пропорциональности — прямая линия, проходящая через начало координат.
Если $x$ увеличивается (уменьшается) в несколько раз, то $y$ также увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Разобранные примеры

Пример 1
Стоимость 5 кг яблок составляет 12 манатов. Сколько будут стоить 7 кг яблок?
Решение
Масса яблок и их стоимость — прямо пропорциональные величины. То есть, $\frac{\text{стоимость}_1}{\text{масса}_1} = \frac{\text{стоимость}_2}{\text{масса}_2}$ . $\frac{12}{5} = \frac{x}{7}$ . $5x = 12 \cdot 7$ . $5x = 84$ . $x = \frac{84}{5} = 16{,}8$ маната. Ответ: 7 кг яблок будут стоить 16,8 маната.
Пример 2
Один рабочий изготавливает 24 детали за 4 часа. Сколько деталей изготовят 3 рабочих за 5 часов, работая с той же скоростью?
Решение
Количество деталей, изготовленных одним рабочим за 1 час: $\frac{24}{4} = 6$ деталей. Это означает, что коэффициент пропорциональности $k = 6$ деталей/час-рабочий. Количество рабочих прямо пропорционально количеству изготовленных деталей. Время работы прямо пропорционально количеству изготовленных деталей. Следовательно, количество изготовленных деталей ( $\text{Д}$ ) = $k \cdot \text{количество рабочих} \cdot \text{часы}$ . 3 рабочих за 5 часов: $\text{Д} = 6 \cdot 3 \cdot 5 = 90$ деталей. Ответ: 3 рабочих изготовят 90 деталей за 5 часов.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

За 6 метров ткани заплатили 42 маната. Сколько денег нужно заплатить за 10 метров ткани?
1. 60 манатов
2. 70 манатов
3. 72 маната
4. 84 маната
5. 90 манатов
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 70 манатов
Длина ткани и её стоимость прямо пропорциональны. $\frac{42}{6} = \frac{x}{10} \implies 7 = \frac{x}{10} \implies x = 70$ манатов.
Величина $y$ прямо пропорциональна величине $x$ . Если при $x=4$ величина $y=12$ , то чему будет равен $y$ при $x=7$ ?
1. 14
2. 18
3. 21
4. 24
5. 28
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 21
$\frac{y}{x} = k$ . $k = \frac{12}{4} = 3$ . Следовательно, $y=3x$ . При $x=7$ величина $y=3 \cdot 7 = 21$ .
График какой из следующих функций выражает прямо пропорциональные величины?
1. $y = 2x + 1$
2. $y = \frac{x}{3}$
3. $y = x^2$
4. $y = \frac{6}{x}$
5. $y = -5$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $y = \frac{x}{3}$
Функция прямой пропорциональности должна иметь вид $y=kx$ . Функция $y = \frac{x}{3}$ может быть записана как $y = \frac{1}{3}x$ , где $k = \frac{1}{3}$ . Другие варианты либо не являются прямыми линиями, либо не проходят через начало координат.

Типичные ошибки

Путать прямую пропорциональность с обратной пропорциональностью.
Неправильно определять коэффициент пропорциональности или считать его переменной.
Забывать, что график прямой пропорциональной зависимости обязательно проходит через начало координат.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото