Определение и формула

Если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (увеличивается) во столько же раз, то такие величины называются обратно пропорциональными. То есть, когда значение одной величины растет, значение другой пропорционально уменьшается, и наоборот.

Зависимость обратной пропорциональности выражается формулой $y = \frac{k}{x}$ . Здесь $x$ и $y$ — обратно пропорциональные величины, а $k$ — коэффициент пропорциональности ( $k \neq 0$ ). Из этой формулы видно, что $xy = k$ . То есть, произведение обратно пропорциональных величин постоянно и равно коэффициенту пропорциональности.

Например, количество рабочих ( $x$ ) и время ( $y$ ), необходимое для выполнения одной и той же работы, обратно пропорциональны. Чем больше рабочих, тем быстрее будет выполнена работа.

Свойства и график

Основные свойства обратно пропорциональных величин:

Величины $x$ и $y$ не могут быть равны нулю ( $x \neq 0, y \neq 0$ ). Деление на ноль невозможно, и если произведение двух величин дает ненулевую константу, то ни одна из них не может быть нулем.
При $k > 0$ , если $x$ принимает положительные значения, то $y$ также положительно; если $x$ принимает отрицательные значения, то $y$ также отрицательно.
При $k > 0$ и $x > 0$ с увеличением величины $x$ величина $y$ уменьшается, а при уменьшении величины $x$ величина $y$ увеличивается.

График обратной пропорциональности называется гиперболой. График функции $y = \frac{k}{x}$ состоит из двух ветвей. Если $k > 0$ , ветви гиперболы расположены в I и III четвертях. Если $k < 0$ , ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях. Ветви гиперболы не пересекают координатные оси и бесконечно приближаются к ним (являются асимптотами).

Применение в задачах

Обратная пропорциональность встречается во многих задачах из реальной жизни и физики. Например:

Скорость и время для преодоления фиксированного расстояния обратно пропорциональны. С увеличением скорости время уменьшается.
Количество работников и время выполнения определенной работы обратно пропорциональны. Чем больше работников, тем быстрее выполняется работа.
Давление и объем газа данной массы при постоянной температуре (закон Бойля-Мариотта) обратно пропорциональны. С увеличением давления объем уменьшается.

При решении задач удобно использовать формулу $x_1y_1 = x_2y_2$ . Это позволяет установить связь между значениями величин в различных ситуациях.

Запомните

Если при увеличении одной величины в несколько раз другая величина уменьшается во столько же раз, они обратно пропорциональны.
Зависимость обратной пропорциональности выражается формулой $y = \frac{k}{x}$ или $xy = k$ , где $k \neq 0$ — коэффициент пропорциональности.
Обратно пропорциональные величины не могут быть равны нулю ( $x \neq 0, y \neq 0$ ).
График обратной пропорциональности — гипербола. При $k > 0$ она находится в I и III четвертях, при $k < 0$ — во II и IV четвертях.

Разобранные примеры

Пример 1
Автомобиль, двигаясь со скоростью 60 км/ч, преодолевает определенное расстояние за 4 часа. За сколько часов он преодолеет то же расстояние со скоростью 80 км/ч?
Решение
Скорость ( $v$ ) и время ( $t$ ) являются обратно пропорциональными величинами, так как $v \cdot t = S$ (расстояние постоянно).

Дано: $v_1 = 60$ км/ч $t_1 = 4$ часа $v_2 = 80$ км/ч $t_2 = ?$

$v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$ $60 \cdot 4 = 80 \cdot t_2$ $240 = 80 \cdot t_2$ $t_2 = \frac{240}{80}$ $t_2 = 3$ часа

Ответ: Автомобиль преодолеет то же расстояние за 3 часа.
Пример 2
6 рабочих выполняют определенную работу за 10 дней. За сколько дней 15 рабочих выполнят ту же работу?
Решение
Количество рабочих ( $R$ ) и время выполнения работы ( $D$ ) обратно пропорциональны, так как $R \cdot D = \text{объем работы}$ (объем работы постоянен).

Дано: $R_1 = 6$ рабочих $D_1 = 10$ дней $R_2 = 15$ рабочих $D_2 = ?$

$R_1 \cdot D_1 = R_2 \cdot D_2$ $6 \cdot 10 = 15 \cdot D_2$ $60 = 15 \cdot D_2$ $D_2 = \frac{60}{15}$ $D_2 = 4$ дня

Ответ: 15 рабочих выполнят ту же работу за 4 дня.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какая из следующих пар величин является обратно пропорциональной?
1. Ширина и площадь прямоугольника (при постоянной длине)
2. Скорость автомобиля и пройденное расстояние (при постоянном времени)
3. Скорость и время для преодоления фиксированного расстояния
4. Сторона и периметр квадрата
5. Вес фруктов и их стоимость (при постоянной цене за 1 кг)
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C Скорость и время для преодоления фиксированного расстояния
Скорость и время для преодоления фиксированного расстояния обратно пропорциональны ( $v \cdot t = S$ ). В других вариантах величины либо прямо пропорциональны, либо зависимость иная.
Если $x$ и $y$ — обратно пропорциональные величины, и при $x=5$ значение $y=12$ , то чему будет равно $y$ при $x=15$ ?
1. 4
2. 36
3. 10
4. 20
5. 6
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 4
Используем формулу $x_1y_1 = x_2y_2$ . $5 \cdot 12 = 15 \cdot y_2$ . $60 = 15y_2$ . Отсюда $y_2 = \frac{60}{15} = 4$ .
3 трубы наполняют бассейн за 8 часов. За сколько часов 6 труб наполнят тот же бассейн?
1. 16
2. 12
3. 4
4. 24
5. 8
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 4
Количество труб и время наполнения бассейна обратно пропорциональны. $3 \cdot 8 = 6 \cdot t_2$ . $24 = 6t_2$ . Отсюда $t_2 = \frac{24}{6} = 4$ часа.

Типичные ошибки

Путать обратную пропорциональность с прямой. При обратной пропорциональности одна величина увеличивается, а другая уменьшается, тогда как при прямой обе изменяются в одном направлении.
Считать, что отношение обратно пропорциональных величин постоянно, а не их произведение ( $xy=k$ , а не $y/x = k$ ).
Забывать, что обратно пропорциональные величины не могут быть равны нулю. Должно быть $x \neq 0$ и $y \neq 0$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото