Деление на прямо пропорциональные части

Разделить число на части, прямо пропорциональные числам $a, b, c$ , означает, что эти части увеличиваются или уменьшаются в том же соотношении, что и данные числа. То есть, если число $N$ нужно разделить на части, прямо пропорциональные числам $a, b, c$ , то эти части выражаются как $ax, bx, cx$ . Здесь $x$ — коэффициент пропорциональности.

Сумма этих частей равна $N$ : $ax + bx + cx = N$ $x(a+b+c) = N$ Отсюда коэффициент пропорциональности $x = \frac{N}{a+b+c}$ . Затем значение каждой части вычисляется по формулам $a\cdot x$ , $b\cdot x$ , $c\cdot x$ .

Деление на обратно пропорциональные части

Разделить число на части, обратно пропорциональные числам $a, b, c$ , означает, что эти части будут прямо пропорциональны числам $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ . То есть, части выражаются как $\frac{1}{a}x, \frac{1}{b}x, \frac{1}{c}x$ . Здесь $x$ также является коэффициентом пропорциональности.

Если общее число равно $N$ , то сумма частей равна $N$ : $\frac{1}{a}x + \frac{1}{b}x + \frac{1}{c}x = N$ $x\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) = N$ Отсюда находится $x$ , а затем определяется каждая часть.

Для упрощения расчётов можно привести дроби $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ к общему знаменателю и преобразовать их в целые числа. Например, найдите наименьшее общее кратное (НОК) чисел $a, b, c$ и умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующее число, чтобы получить новое отношение целых чисел. Например, для чисел $a, b, c$ вместо отношения обратной пропорциональности $\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}$ можно использовать отношение $bc:ac:ab$ .

Запомните

При делении числа на части, прямо пропорциональные $a, b, c$ , части записываются как $ax, bx, cx$ , и решается уравнение $ax+bx+cx=N$ .
При делении числа на части, обратно пропорциональные $a, b, c$ , части делятся как прямо пропорциональные числам $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ .
При делении на обратно пропорциональные части для упрощения расчётов можно привести дроби к общему знаменателю и преобразовать их в целые числа (например, использовать отношение $bc:ac:ab$ ).
После нахождения коэффициента пропорциональности ( $x$ ) каждую часть нужно умножить на соответствующее число.

Разобранные примеры

Пример 1
Разделите число 120 на части, прямо пропорциональные числам 2, 3 и 5.
Решение
Обозначим части как $2x, 3x, 5x$ . Сумма этих частей равна 120: $2x + 3x + 5x = 120$ $10x = 120$ $x = \frac{120}{10} = 12$ Части: Первая часть: $2x = 2 \cdot 12 = 24$ Вторая часть: $3x = 3 \cdot 12 = 36$ Третья часть: $5x = 5 \cdot 12 = 60$ Проверка: $24 + 36 + 60 = 120$ . Ответ верен.

Ответ: 24, 36, 60.
Пример 2
Разделите число 156 на части, обратно пропорциональные числам 2, 3 и 4.
Решение
Части будут прямо пропорциональны числам $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ . Общий знаменатель этих дробей — 12. Приведём дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$ $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ Таким образом, мы должны разделить число 156 на части, прямо пропорциональные числам 6, 4 и 3. Обозначим части как $6x, 4x, 3x$ . $6x + 4x + 3x = 156$ $13x = 156$ $x = \frac{156}{13} = 12$ Части: Первая часть: $6x = 6 \cdot 12 = 72$ Вторая часть: $4x = 4 \cdot 12 = 48$ Третья часть: $3x = 3 \cdot 12 = 36$ Проверка: $72 + 48 + 36 = 156$ . Кроме того, $72 \cdot 2 = 48 \cdot 3 = 36 \cdot 4 = 144$ , то есть части действительно обратно пропорциональны числам 2, 3, 4.

Ответ: 72, 48, 36.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

При делении числа 150 на части, прямо пропорциональные числам 1, 2 и 3, какая будет наибольшая часть?
1. 25
2. 50
3. 75
4. 100
5. 125
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 75
Части будут $x, 2x, 3x$ . $x+2x+3x = 150 \Rightarrow 6x = 150 \Rightarrow x = 25$ . Наибольшая часть $3x = 3 \cdot 25 = 75$ .
При делении числа 180 на части, обратно пропорциональные числам 2, 3 и 6, какая будет наименьшая часть?
1. 30
2. 45
3. 60
4. 90
5. 120
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 30
Обратно пропорциональные части прямо пропорциональны $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}$ . Общий знаменатель 6, то есть отношение $3:2:1$ . Части будут $3x, 2x, x$ . $3x+2x+x = 180 \Rightarrow 6x = 180 \Rightarrow x = 30$ . Наименьшая часть $x = 30$ .
Садовник должен распределить 210 деревьев между тремя рабочими в соответствии с их производительностью (скоростью). Если производительность рабочих прямо пропорциональна числам 3, 5 и 6, сколько деревьев посадит рабочий, получивший больше всего деревьев?
1. 45
2. 75
3. 90
4. 105
5. 120
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 90
Деревья распределяются в отношении $3x, 5x, 6x$ . $3x+5x+6x = 210 \Rightarrow 14x = 210 \Rightarrow x = 15$ . Рабочий, получивший больше всего деревьев, посадит $6x = 6 \cdot 15 = 90$ деревьев.

Типичные ошибки

При делении на обратно пропорциональные части использовать числа напрямую, не переворачивая их (например, при обратно пропорциональном делении на 2, 3, 4 писать 2x, 3x, 4x).
Путать понятия прямой и обратной пропорциональности.
Ошибки при нахождении общего знаменателя или преобразовании дробей в целые числа при работе с дробями.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото