Tərif və düstur

Əgər bir kəmiyyət bir neçə dəfə artdıqda (azaldıqda) digər kəmiyyət bir o qədər dəfə azalırsa (artırsa), bu kəmiyyətlərə tərs mütənasib kəmiyyətlər deyilir. Yəni, bir kəmiyyətin dəyəri artdıqda digərinin dəyəri mütənasib şəkildə azalır və ya əksinə.

Tərs mütənasiblik asılılığı $y = \frac{k}{x}$ düsturu ilə ifadə olunur. Burada $x$ və $y$ tərs mütənasib kəmiyyətlər, $k$ isə mütənasiblik əmsalıdır ( $k \neq 0$ ). Bu düsturdan $xy = k$ olduğunu görürük. Yəni, tərs mütənasib kəmiyyətlərin hasili sabitdir və mütənasiblik əmsalına bərabərdir.

Məsələn, eyni işi görmək üçün fəhlələrin sayı ( $x$ ) və işi bitirməyə sərf olunan vaxt ( $y$ ) tərs mütənasibdir. Nə qədər çox fəhlə işləsə, iş bir o qədər tez bitər.

Xassələri və qrafiki

Tərs mütənasib kəmiyyətlərin əsas xassələri bunlardır:

$x$ və $y$ kəmiyyətləri sıfır ola bilməz ( $x \neq 0, y \neq 0$ ). Çünki sıfıra bölmə mümkün deyil və iki kəmiyyətin hasili sıfırdan fərqli bir sabitdirsə, onların heç biri sıfır ola bilməz.
$k > 0$ olduqda $x$ müsbət qiymətlər aldıqda $y$ də müsbət olur, $x$ mənfi qiymətlər aldıqda $y$ də mənfi olur.
$k > 0$ və $x > 0$ olduqda $x$ kəmiyyəti artdıqca $y$ kəmiyyəti azalır, $x$ kəmiyyəti azaldıqca $y$ kəmiyyəti artır.

Tərs mütənasibliyin qrafiki hiperbola adlanır. $y = \frac{k}{x}$ funksiyasının qrafiki iki budaqdan ibarətdir. Əgər $k > 0$ olarsa, hiperbolanın budaqları I və III rüblərdə yerləşir. Əgər $k < 0$ olarsa, hiperbolanın budaqları II və IV rüblərdə yerləşir. Hiperbolanın budaqları koordinat oxlarını kəsmir və onlara sonsuz yaxınlaşır (asimptotlardır).

Məsələlərdə tətbiqi

Tərs mütənasiblik bir çox real həyat və fizika məsələlərində qarşımıza çıxır. Məsələn:

Sabit məsafəni qət etmək üçün sürət və zaman tərs mütənasibdir. Sürət artdıqca zaman azalır.
Müəyyən bir işi yerinə yetirmək üçün işçilərin sayı və işin tamamlanma müddəti tərs mütənasibdir. İşçilərin sayı çoxaldıqca iş daha tez bitir.
Müəyyən kütləli qazın təzyiqi və həcmi (temperatur sabit olduqda) tərs mütənasibdir (Boyl-Mariott qanunu). Təzyiq artdıqca həcm azalır.

Məsələləri həll edərkən $x_1y_1 = x_2y_2$ düsturundan istifadə etmək rahatdır. Bu, kəmiyyətlərin müxtəlif vəziyyətlərdəki qiymətləri arasında əlaqə qurmağa imkan verir.

Yadda saxla

İki kəmiyyətdən biri bir neçə dəfə artdıqda, digəri bir o qədər dəfə azalırsa, onlar tərs mütənasibdir.
Tərs mütənasiblik asılılığı $y = \frac{k}{x}$ və ya $xy = k$ düsturu ilə ifadə olunur, burada $k \neq 0$ mütənasiblik əmsalıdır.
Tərs mütənasib kəmiyyətlər sıfır ola bilməz ( $x \neq 0, y \neq 0$ ).
Tərs mütənasibliyin qrafiki hiperboladır. $k > 0$ olduqda I və III, $k < 0$ olduqda II və IV rüblərdə yerləşir.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Avtomobil saatda 60 km sürətlə gedərək müəyyən bir məsafəni 4 saata qət edir. Eyni məsafəni 80 km/saat sürətlə neçə saata qət edər?
Həlli
Sürət ( $v$ ) və zaman ( $t$ ) tərs mütənasib kəmiyyətlərdir, çünki $v \cdot t = S$ (məsafə sabitdir).

Verilənlər: $v_1 = 60$ km/saat $t_1 = 4$ saat $v_2 = 80$ km/saat $t_2 = ?$

$v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$ $60 \cdot 4 = 80 \cdot t_2$ $240 = 80 \cdot t_2$ $t_2 = \frac{240}{80}$ $t_2 = 3$ saat

Cavab: Avtomobil eyni məsafəni 3 saata qət edər.
Misal 2
Bir işi 6 fəhlə 10 günə yerinə yetirir. Eyni işi 15 fəhlə neçə günə yerinə yetirər?
Həlli
Fəhlələrin sayı ( $F$ ) və işin görülmə müddəti ( $G$ ) tərs mütənasibdir, çünki $F \cdot G = \text{işin həcmi}$ (işin həcmi sabitdir).

Verilənlər: $F_1 = 6$ fəhlə $G_1 = 10$ gün $F_2 = 15$ fəhlə $G_2 = ?$

$F_1 \cdot G_1 = F_2 \cdot G_2$ $6 \cdot 10 = 15 \cdot G_2$ $60 = 15 \cdot G_2$ $G_2 = \frac{60}{15}$ $G_2 = 4$ gün

Cavab: Eyni işi 15 fəhlə 4 günə yerinə yetirər.

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Aşağıdakı kəmiyyətlər cütlərindən hansı tərs mütənasibdir?
1. Düzbucaqlının eni və sahəsi (uzunluğu sabit olduqda)
2. Avtomobilin sürəti və qət etdiyi məsafə (zaman sabit olduqda)
3. Sabit məsafəni qət etmək üçün sürət və zaman
4. Kvadratın tərəfi və perimetri
5. Meyvənin çəkisi və onun qiyməti (1 kq-ın qiyməti sabit olduqda)
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C Sabit məsafəni qət etmək üçün sürət və zaman
Sabit məsafəni qət etmək üçün sürət və zaman tərs mütənasibdir ( $v \cdot t = S$ ). Digər variantlarda kəmiyyətlər ya düz mütənasibdir, ya da asılılıq başqa cürdür.
Əgər $x$ və $y$ tərs mütənasib kəmiyyətlərdirsə və $x=5$ olduqda $y=12$ olarsa, $x=15$ olduqda $y$ neçə olar?
1. 4
2. 36
3. 10
4. 20
5. 6
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: A 4
$x_1y_1 = x_2y_2$ düsturundan istifadə edirik. $5 \cdot 12 = 15 \cdot y_2$ . $60 = 15y_2$ . Buradan $y_2 = \frac{60}{15} = 4$ .
Bir hovuzu 3 boru 8 saata doldurur. Eyni hovuzu 6 boru neçə saata doldurar?
1. 16
2. 12
3. 4
4. 24
5. 8
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C 4
Boruların sayı və hovuzu doldurma müddəti tərs mütənasibdir. $3 \cdot 8 = 6 \cdot t_2$ . $24 = 6t_2$ . Buradan $t_2 = \frac{24}{6} = 4$ saat.

Tipik səhvlər

Tərs mütənasibliyi düz mütənasibliklə qarışdırmaq. Tərs mütənasiblikdə bir kəmiyyət artdıqda digəri azalır, düz mütənasiblikdə isə hər ikisi eyni istiqamətdə dəyişir.
Tərs mütənasib kəmiyyətlərin hasili sabit olmalıdır, nisbəti deyil ( $xy=k$ , $y/x \neq k$ ).
Tərs mütənasib kəmiyyətlərin sıfır ola bilməyəcəyini unudmaq. $x \neq 0$ və $y \neq 0$ olmalıdır.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et