Основной принцип и формула

Если $P$ процентов числа равно $b$ , то для нахождения самого числа ( $X$ ) нужно $b$ разделить на $P$ и умножить на $100$ . То есть, $X = \frac{b}{P} \cdot 100$ .

Переведя процент в десятичную дробь, можно получить тот же результат путём деления: $X = \frac{b}{P/100}$ .

Например, если $20\%$ числа равно $40$ , то само число $X = \frac{40}{20} \cdot 100 = 2 \cdot 100 = 200$ .

Метод пропорции

Для нахождения числа по его проценту можно составить пропорцию. Если $X$ — искомое число, и его $P$ процентов равно $b$ , то мы можем записать следующую пропорцию:

$X$ — $100\%$ $b$ — $P\%$

Отсюда, по основному свойству пропорции, $X \cdot P = b \cdot 100$ , то есть $X = \frac{b \cdot 100}{P}$ . Эта формула идентична предыдущей.

Этот метод универсален и может быть применён в более сложных задачах, упрощая их решение.

Практическое применение

Эта тема применяется в различных реальных задачах, например, при расчёте скидок, банковских процентов, концентрации растворов и т.д.

Например, если цена товара после $15\%$ -ной скидки составила $85$ манатов, то для нахождения первоначальной цены нужно знать, что $85$ манатов — это $100\% - 15\% = 85\%$ от начальной цены. Тогда первоначальная цена $X = \frac{85}{85} \cdot 100 = 1 \cdot 100 = 100$ манатов.

Запомните

Если $P$ процентов числа равно $b$ , то само число находится по формуле $X = \frac{b}{P} \cdot 100$ .
Можно также найти, переведя процент в десятичную дробь: $X = \frac{b}{P/100}$ .
С помощью пропорции: $X$ — $100\%$ , $b$ — $P\%$ , откуда $X = \frac{b \cdot 100}{P}$ .
В задачах важно правильно определить, какой процент соответствует данному числу (например, оставшийся процент после скидки или процент после повышения цены).

Разобранные примеры

Пример 1
$35\%$ числа равно $70$ . Найдите это число.
Решение
Обозначим число как $X$ . По условию задачи, $35\%$ от $X$ равно $70$ .

Используем формулу: $X = \frac{70}{35} \cdot 100$ $X = 2 \cdot 100$ $X = 200$

Ответ: 200.
Пример 2
После того как было прочитано $40\%$ книги, осталось непрочитанными $180$ страниц. Сколько всего страниц в книге?
Решение
Если прочитано $40\%$ книги, то непрочитанная часть составляет $100\% - 40\% = 60\%$ .

Следовательно, $60\%$ книги — это $180$ страниц. Найдём общее количество страниц в книге ( $X$ ): $X = \frac{180}{60} \cdot 100$ $X = 3 \cdot 100$ $X = 300$

Ответ: В книге всего 300 страниц.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

$25\%$ числа равно $50$ . Чему равно $10\%$ этого числа?
1. 10
2. 20
3. 25
4. 50
5. 200
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 20
Сначала найдём само число: $X = \frac{50}{25} \cdot 100 = 2 \cdot 100 = 200$ . Теперь найдём $10\%$ от этого числа: $200 \cdot \frac{10}{100} = 20$ .
Человек, который платит $15\%$ своей зарплаты за аренду, тратит $120$ манатов. Какова его месячная зарплата?
1. 600
2. 700
3. 800
4. 900
5. 1000
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 800
Обозначим месячную зарплату как $X$ . $15\%$ от $X$ равно $120$ манатов. Следовательно, $X = \frac{120}{15} \cdot 100 = 8 \cdot 100 = 800$ манатов.
Цена товара после подорожания на $20\%$ составила $360$ манатов. Какова была первоначальная цена товара?
1. 288
2. 300
3. 320
4. 340
5. 350
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 300
Если цена товара подорожала на $20\%$ , то новая цена составляет $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной цены. Обозначим первоначальную цену как $X$ . $120\%$ от $X$ равно $360$ манатов. Следовательно, $X = \frac{360}{120} \cdot 100 = 3 \cdot 100 = 300$ манатов.

Типичные ошибки

При нахождении числа по его проценту умножать данное число на процент (вместо деления). Например, вычислять $b \cdot P$ .
Неправильно применять проценты в задачах. Например, при снижении цены на $10\%$ принимать оставшуюся цену за $10\%$ вместо $90\%$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото