Понятия отношения и процента

Отношение двух чисел — это результат деления одного числа на другое. Например, отношение числа $a$ к числу $b$ записывается как $\frac{a}{b}$ . Процент означает сотую долю числа. Чтобы выразить десятичную или обыкновенную дробь в процентах, её умножают на 100 и добавляют знак процента (%). Например, десятичная дробь 0,25 означает $0{,}25 \cdot 100\% = 25\%$ .

Чтобы выразить отношение двух чисел в процентах, сначала находят их отношение, то есть делят одно число на другое. Затем полученную дробь (или десятичную дробь) умножают на 100 и добавляют знак процента.

Формула выглядит так: $\text{Процент} = \frac{\text{Первое число}}{\text{Второе число}} \cdot 100\%$

Например, выразим отношение числа 20 к числу 80 в процентах: $\frac{20}{80} = \frac{1}{4} = 0{,}25$ . Теперь переведём это в проценты: $0{,}25 \cdot 100\% = 25\%$ . Следовательно, число 20 составляет 25% от числа 80.

Области применения и примеры

Выражение отношения двух чисел в процентах широко используется в различных областях. Например, при оценке результатов экзаменов учащихся в школе, при определении соотношения девочек и мальчиков в классе, при анализе показателей прибыли и убытков в экономике.

Пример 1: В классе из 25 учеников 15 — девочки. Выразите отношение числа девочек к общему числу учеников в процентах. Решение: Число девочек 15, общее число учеников 25. Отношение: $\frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0{,}6$ . В процентах: $0{,}6 \cdot 100\% = 60\%$ . Следовательно, 60% учеников класса составляют девочки.

Пример 2: Цена товара выросла с 50 манатов до 60 манатов. Выразите процентное увеличение цены относительно первоначальной цены. Решение: Увеличение цены составляет $60 - 50 = 10$ манатов. Первоначальная цена 50 манатов. Отношение: $\frac{10}{50} = \frac{1}{5} = 0{,}2$ . В процентах: $0{,}2 \cdot 100\% = 20\%$ . Следовательно, цена товара увеличилась на 20%.

Запомните

Отношение двух чисел записывается как $a:b$ или $\frac{a}{b}$ .
Процент означает сотую долю ( $1\% = 0{,}01$ ).
Чтобы перевести отношение в проценты, умножьте дробь на 100 и добавьте знак %: $\frac{a}{b} \cdot 100\%$ .
При выражении части в процентах, делим часть на целое и умножаем на 100.

Разобранные примеры

Пример 1
Выразите отношение числа 40 к числу 200 в процентах.
Решение
1. Находим отношение: $\frac{40}{200}$ .
2. Сокращаем дробь: $\frac{40}{200} = \frac{1}{5}$ .
3. Переводим дробь в десятичную: $\frac{1}{5} = 0{,}2$ .
4. Переводим десятичную дробь в проценты: $0{,}2 \cdot 100\% = 20\%$ .
Ответ: 20%.
Пример 2
В деревне из 800 жителей 320 — женщины. Какой процент населения деревни составляют женщины?
Решение
1. Находим отношение числа женщин к общему населению: $\frac{320}{800}$ .
2. Сокращаем дробь: $\frac{320}{800} = \frac{32}{80} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .
3. Переводим дробь в десятичную: $\frac{2}{5} = 0{,}4$ .
4. Переводим десятичную дробь в проценты: $0{,}4 \cdot 100\% = 40\%$ .
Ответ: 40%.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

В школе из 600 учеников 210 записаны в спортивную секцию. Выразите отношение числа учеников, записанных в спортивную секцию, к общему числу учеников в процентах.
1. 25%
2. 30%
3. 35%
4. 40%
5. 45%
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 35%
Число учеников в спортивной секции 210, общее число учеников 600. Отношение: $\frac{210}{600} = \frac{21}{60} = \frac{7}{20} = 0{,}35$ . В процентах: $0{,}35 \cdot 100\% = 35\%.$
Из 150 литров молока 45 литров — жирное молоко. Найдите процентное отношение жирного молока к общему объёму молока.
1. 20%
2. 25%
3. 30%
4. 35%
5. 40%
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 30%
Жирное молоко 45 литров, общее молоко 150 литров. Отношение: $\frac{45}{150} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10} = 0{,}3$ . В процентах: $0{,}3 \cdot 100\% = 30\%.$
В саду 240 деревьев. Из них 72 — яблони. Выразите отношение числа яблонь к общему числу деревьев в саду в процентах.
1. 25%
2. 30%
3. 32%
4. 35%
5. 40%
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 30%
Число яблонь 72, общее число деревьев 240. Отношение: $\frac{72}{240} = \frac{36}{120} = \frac{18}{60} = \frac{3}{10} = 0{,}3$ . В процентах: $0{,}3 \cdot 100\% = 30\%.$

Типичные ошибки

Забывать умножить на 100 при переводе отношения в проценты или ошибочно делить на 100.
Делить целое на часть, а не часть на целое, что приводит к получению процента больше 100%.
Неправильно определять, какая величина принимается за 100% при процентных расчётах.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото