Что такое процентное изменение?

Выразить изменение величины в процентах означает показать, насколько она увеличилась или уменьшилась относительно своего первоначального значения. Это основано на выражении отношения двух чисел в процентах. Общая формула выглядит так:

\text{Процент изменения} = \frac{\text{Конечное значение} - \text{Начальное значение}}{\text{Начальное значение}} \cdot 100\%

Если результат положительный, это указывает на процентное увеличение; если отрицательный — на процентное уменьшение. Например, если цена выросла со 100 манатов до 120 манатов, то $(120-100)/100 \cdot 100\% = 20\%$ увеличения. Если же она упала со 100 манатов до 80 манатов, то $(80-100)/100 \cdot 100\% = -20\%$ изменения, то есть 20% уменьшения.

Процентное увеличение

Если величина увеличивается на $p\%$ от своего начального значения, то для нахождения её нового значения используется следующая формула:

A_{\text{нов}} = A_{\text{нач}} + A_{\text{нач}} \cdot \frac{p}{100} = A_{\text{нач}} \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)

Например, если цена товара составляла 50 манатов и увеличилась на 10%, то новая цена будет $50 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 50 \cdot (1 + 0{,}1) = 50 \cdot 1{,}1 = 55$ манатов.

Процентное уменьшение

Если величина уменьшается на $p\%$ от своего начального значения, то для нахождения её нового значения используется следующая формула:

A_{\text{нов}} = A_{\text{нач}} - A_{\text{нач}} \cdot \frac{p}{100} = A_{\text{нач}} \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)

Например, если цена товара составляла 80 манатов и была снижена на 25%, то новая цена будет $80 \cdot (1 - \frac{25}{100}) = 80 \cdot (1 - 0{,}25) = 80 \cdot 0{,}75 = 60$ манатов.

Нахождение начального значения после процентного изменения

Иногда нам дано значение величины после процентного изменения, и требуется найти её начальное значение. В этом случае, преобразовав вышеуказанные формулы, мы можем найти начальное значение:

Если величина увеличилась на $p\%$ :

A_{\text{нач}} = \frac{A_{\text{нов}}}{1 + \frac{p}{100}}

Если величина уменьшилась на $p\%$ :

A_{\text{нач}} = \frac{A_{\text{нов}}}{1 - \frac{p}{100}}

Это является применением темы «нахождение числа по его проценту». Например, товар, цена которого после 20% увеличения составила 240 манатов, имел начальную цену $A_{\text{нач}} = \frac{240}{1 + 0{,}2} = \frac{240}{1{,}2} = 200$ манатов.

Запомните

Процент изменения: $\frac{\text{Конечное значение} - \text{Начальное значение}}{\text{Начальное значение}} \cdot 100\%$ .
Процентное увеличение: $A_{\text{нов}} = A_{\text{нач}} \cdot (1 + \frac{p}{100})$ .
Процентное уменьшение: $A_{\text{нов}} = A_{\text{нач}} \cdot (1 - \frac{p}{100})$ .
Начальное значение (увеличение): $A_{\text{нач}} = \frac{A_{\text{нов}}}{1 + \frac{p}{100}}$ .
Начальное значение (уменьшение): $A_{\text{нач}} = \frac{A_{\text{нов}}}{1 - \frac{p}{100}}$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Цена товара выросла с 80 манатов до 100 манатов. На сколько процентов выросла цена?
Решение
1. Начальная цена $A_{\text{нач}} = 80$ манатов, конечная цена $A_{\text{нов}} = 100$ манатов.
2. Найдём величину увеличения цены: $100 - 80 = 20$ манатов.
3. Рассчитаем процент увеличения: $\frac{\text{Увеличение}}{\text{Начальное значение}} \cdot 100\% = \frac{20}{80} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$ .
Ответ: Цена выросла на 25%.
Пример 2
В магазине после 20% скидки цена платья составила 160 манатов. Какова была первоначальная цена платья?
Решение
1. Если цена платья была снижена на 20%, это означает, что новая цена составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной цены.
2. Обозначим первоначальную цену через $x$ .
3. Составим уравнение: $x \cdot \frac{80}{100} = 160$ .
4. Вычислим: $0{,}8x = 160 \Rightarrow x = \frac{160}{0{,}8} = \frac{1600}{8} = 200$ манатов.
Ответ: Первоначальная цена платья была 200 манатов.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Зарплата сотрудника сначала была увеличена на 10%, а затем новая зарплата была уменьшена на 10%. Как изменилась зарплата сотрудника?
1. Увеличилась на 1%
2. Уменьшилась на 1%
3. Не изменилась
4. Уменьшилась на 0,1%
5. Увеличилась на 0,1%
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B Уменьшилась на 1%
Пусть начальная зарплата будет $A$ . Увеличение на 10%: $A \cdot (1 + 0{,}1) = 1{,}1A$ . Затем уменьшение новой зарплаты на 10%: $1{,}1A \cdot (1 - 0{,}1) = 1{,}1A \cdot 0{,}9 = 0{,}99A$ . Зарплата уменьшилась на $A - 0{,}99A = 0{,}01A$ , что составляет 1% от начальной зарплаты.
Число учеников в школе увеличилось с 250 до 300. На сколько процентов увеличилось число учеников?
1. 15%
2. 20%
3. 25%
4. 30%
5. 50%
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 20%
Увеличение числа учеников составляет $300 - 250 = 50$ человек. Процент увеличения: $\frac{50}{250} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%$ .
Цена товара после подорожания на 30% составила 260 манатов. Какова была первоначальная цена товара?
1. 182 маната
2. 200 манатов
3. 230 манатов
4. 280 манатов
5. 338 манатов
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 200 манатов
Обозначим первоначальную цену товара через $x$ . После подорожания на 30% цена стала $x \cdot (1 + \frac{30}{100}) = x \cdot 1{,}3$ . Значит, $1{,}3x = 260$ . Отсюда $x = \frac{260}{1{,}3} = \frac{2600}{13} = 200$ манатов.

Типичные ошибки

Вычислять процентное изменение относительно конечного значения, а не начального.
Сложение или вычитание последовательных процентных изменений (например, думать, что 10% увеличение, а затем 10% уменьшение равно 0%).
Путаница в формулах при расчёте процентного увеличения или уменьшения, например, использование $1 - \frac{p}{100}$ вместо $1 + \frac{p}{100}$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото