Faiz dəyişməsi nədir?

Kəmiyyətin dəyişməsini faizlə ifadə etmək, onun ilkin dəyərə nisbətən nə qədər artdığını və ya azaldığını göstərmək deməkdir. Bu, iki ədədin nisbətinin faizlə ifadəsinə əsaslanır. Ümumi düstur aşağıdakı kimidir:

\text{Dəyişmə faizi} = \frac{\text{Son dəyər} - \text{İlkin dəyər}}{\text{İlkin dəyər}} \cdot 100\%

Əgər nəticə müsbətdirsə, bu faiz artımını, mənfidirsə, faiz azalmasını göstərir. Məsələn, qiymət 100 manatdan 120 manata qalxıbsa, $(120-100)/100 \cdot 100\% = 20\%$ artım var. Əgər 100 manatdan 80 manata düşübsə, $(80-100)/100 \cdot 100\% = -20\%$ dəyişmə, yəni 20% azalma var.

Faiz artımı

Kəmiyyət ilkin dəyərindən $p\%$ qədər artırsa, onun yeni dəyərini tapmaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə olunur:

A_{\text{yeni}} = A_{\text{ilkin}} + A_{\text{ilkin}} \cdot \frac{p}{100} = A_{\text{ilkin}} \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)

Məsələn, əgər bir məhsulun qiyməti 50 manat idisə və 10% artdısa, yeni qiymət $50 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 50 \cdot (1 + 0{,}1) = 50 \cdot 1{,}1 = 55$ manat olacaqdır.

Faiz azalması

Kəmiyyət ilkin dəyərindən $p\%$ qədər azalırsa, onun yeni dəyərini tapmaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə olunur:

A_{\text{yeni}} = A_{\text{ilkin}} - A_{\text{ilkin}} \cdot \frac{p}{100} = A_{\text{ilkin}} \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)

Məsələn, əgər bir məhsulun qiyməti 80 manat idisə və 25% endirim edildisə, yeni qiymət $80 \cdot (1 - \frac{25}{100}) = 80 \cdot (1 - 0{,}25) = 80 \cdot 0{,}75 = 60$ manat olacaqdır.

Faiz dəyişikliyindən sonra ilkin dəyərin tapılması

Bəzən bizə kəmiyyətin faiz dəyişikliyindən sonrakı dəyəri verilir və ilkin dəyəri tapmaq tələb olunur. Bu halda, yuxarıdakı düsturları çevirərək ilkin dəyəri tapa bilərik:

Əgər kəmiyyət $p\%$ artıbsa:

A_{\text{ilkin}} = \frac{A_{\text{yeni}}}{1 + \frac{p}{100}}

Əgər kəmiyyət $p\%$ azalıbsa:

A_{\text{ilkin}} = \frac{A_{\text{yeni}}}{1 - \frac{p}{100}}

Bu, ədədin faizinə görə ədədin tapılması mövzusunun bir tətbiqidir. Məsələn, qiyməti 20% artırıldıqdan sonra 240 manat olan malın ilkin qiyməti $A_{\text{ilkin}} = \frac{240}{1 + 0{,}2} = \frac{240}{1{,}2} = 200$ manat idi.

Yadda saxla

Dəyişmə faizi: $\frac{\text{Son dəyər} - \text{İlkin dəyər}}{\text{İlkin dəyər}} \cdot 100\%$ .
Faiz artımı: $A_{\text{yeni}} = A_{\text{ilkin}} \cdot (1 + \frac{p}{100})$ .
Faiz azalması: $A_{\text{yeni}} = A_{\text{ilkin}} \cdot (1 - \frac{p}{100})$ .
İlkin dəyər (artım): $A_{\text{ilkin}} = \frac{A_{\text{yeni}}}{1 + \frac{p}{100}}$ .
İlkin dəyər (azalma): $A_{\text{ilkin}} = \frac{A_{\text{yeni}}}{1 - \frac{p}{100}}$ .

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Məhsulun qiyməti 80 manatdan 100 manata qalxdı. Qiymət neçə faiz artdı?
Həlli
1. İlkin qiymət $A_{\text{ilkin}} = 80$ manat, son qiymət $A_{\text{yeni}} = 100$ manat.
2. Qiymət artımının miqdarını tapaq: $100 - 80 = 20$ manat.
3. Artım faizini hesablayaq: $\frac{\text{Artım}}{\text{İlkin dəyər}} \cdot 100\% = \frac{20}{80} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$ .
Cavab: Qiymət 25% artdı.
Misal 2
Bir mağazada paltarın qiyməti 20% endirildikdən sonra 160 manat oldu. Paltarın ilkin qiyməti neçə manat idi?
Həlli
1. Paltarın qiyməti 20% endirilibsə, bu o deməkdir ki, yeni qiymət ilkin qiymətin $100\% - 20\% = 80\%$ -ni təşkil edir.
2. Paltarın ilkin qiymətini $x$ ilə işarə edək.
3. Tənliyi quraq: $x \cdot \frac{80}{100} = 160$ .
4. Hesablayaq: $0{,}8x = 160 \Rightarrow x = \frac{160}{0{,}8} = \frac{1600}{8} = 200$ manat.
Cavab: Paltarın ilkin qiyməti 200 manat idi.

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

İşçinin maaşı əvvəlcə 10% artırıldı, sonra isə yeni maaş 10% azaldıldı. İşçinin maaşı necə dəyişdi?
1. 1% artdı
2. 1% azaldı
3. dəyişmədi
4. 0,1% azaldı
5. 0,1% artdı
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B 1% azaldı
İlkin maaş $A$ olsun. 10% artım: $A \cdot (1 + 0{,}1) = 1{,}1A$ . Sonra yeni maaşın 10% azalması: $1{,}1A \cdot (1 - 0{,}1) = 1{,}1A \cdot 0{,}9 = 0{,}99A$ . Maaş $A - 0{,}99A = 0{,}01A$ qədər azaldı, bu da ilkin maaşın 1%-idir.
Məktəbdə şagirdlərin sayı 250-dən 300-ə qədər artdı. Şagirdlərin sayı neçə faiz artdı?
1. 15%
2. 20%
3. 25%
4. 30%
5. 50%
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B 20%
Şagirdlərin sayındakı artım $300 - 250 = 50$ nəfərdir. Faiz artımı: $\frac{50}{250} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%$ .
Malın qiyməti 30% bahalaşdıqdan sonra 260 manat oldu. Malın ilkin qiyməti nə qədər idi?
1. 182 manat
2. 200 manat
3. 230 manat
4. 280 manat
5. 338 manat
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B 200 manat
Malın ilkin qiymətini $x$ ilə işarə edək. 30% bahalaşmadan sonra qiymət $x \cdot (1 + \frac{30}{100}) = x \cdot 1{,}3$ olar. Deməli, $1{,}3x = 260$ . Buradan $x = \frac{260}{1{,}3} = \frac{2600}{13} = 200$ manat.

Tipik səhvlər

Faiz dəyişikliyini ilkin dəyərə deyil, son dəyərə nisbətən hesablamaq.
Ardıcıl faiz dəyişikliklərini (məsələn, 10% artım, sonra 10% azalma) sadəcə toplayıb-çıxmaq (10% - 10% = 0% kimi düşünmək).
Faiz artımını və ya azalmasını hesablayarkən düsturları səhv salmaq, məsələn, $1 + \frac{p}{100}$ əvəzinə $1 - \frac{p}{100}$ istifadə etmək.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et