К содержанию
OrujovAI
RUAZ

Комплексные числа

Действия над комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление и степень с натуральным показателем

Комплексные числа имеют широкое применение в математике. Операции над ними — сложение, вычитание, умножение и деление — являются основой для понимания их свойств. Знание этой темы поможет решать задачи, связанные с комплексными числами, на экзаменах DİM.

  • Вступительный, II этап
  • Выпускной, 11 класс
Тема из программы ГЭЦ 2027

Сложение и вычитание комплексных чисел

Чтобы сложить или вычесть два комплексных числа, их действительные части и мнимые части складываются или вычитаются отдельно. То есть, если z1=a+biz_1 = a+bi и z2=c+diz_2 = c+di, то:

Сложение: z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)iz_1 + z_2 = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

Вычитание: z1−z2=(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)iz_1 - z_2 = (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i

Например, (3+4i)+(1−2i)=(3+1)+(4−2)i=4+2i(3+4i) + (1-2i) = (3+1) + (4-2)i = 4+2i. (5−3i)−(2+i)=(5−2)+(−3−1)i=3−4i(5-3i) - (2+i) = (5-2) + (-3-1)i = 3-4i.

Умножение комплексных чисел

Для умножения двух комплексных чисел используется правило умножения многочленов, при этом учитывается, что i2=−1i^2 = -1. Если z1=a+biz_1 = a+bi и z2=c+diz_2 = c+di, то:

z1⋅z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2z_1 \cdot z_2 = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 =ac+(ad+bc)i−bd=(ac−bd)+(ad+bc)i = ac + (ad+bc)i - bd = (ac-bd) + (ad+bc)i

Например, (2+3i)(1−i)=2⋅1+2⋅(−i)+3i⋅1+3i⋅(−i)=2−2i+3i−3i2=2+i−3(−1)=2+i+3=5+i(2+3i)(1-i) = 2\cdot1 + 2\cdot(-i) + 3i\cdot1 + 3i\cdot(-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i - 3(-1) = 2 + i + 3 = 5+i.

Деление комплексных чисел

Для деления двух комплексных чисел числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряжённое к знаменателю число. Если сопряжённое к знаменателю равно c−dic-di, то (c+di)(c−di)=c2−(di)2=c2−d2i2=c2+d2(c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 - d^2i^2 = c^2 + d^2. Это преобразует знаменатель в действительное число.

a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac−adi+bci−bdi2c2+d2=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{ac - adi + bci - bdi^2}{c^2+d^2} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}

Например, 1+2i3−i=(1+2i)(3+i)(3−i)(3+i)=3+i+6i+2i232+12=3+7i−29+1=1+7i10=110+710i\frac{1+2i}{3-i} = \frac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \frac{3+i+6i+2i^2}{3^2+1^2} = \frac{3+7i-2}{9+1} = \frac{1+7i}{10} = \frac{1}{10} + \frac{7}{10}i.

Степень мнимой единицы ii с натуральным показателем

Степени мнимой единицы ii с натуральным показателем повторяются циклически:

i1=ii^1 = i i2=−1i^2 = -1 i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−ii^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i i4=i2⋅i2=(−1)⋅(−1)=1i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1 i5=i4⋅i=1⋅i=ii^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i

Как видно, степени ii повторяются с периодом 4 (i,−1,−i,1i, -1, -i, 1). Чтобы найти любую степень ini^n, нужно разделить nn на 4 и найти остаток. Если остаток 0 (nn делится на 4 нацело), то in=1i^n=1. Если остаток kk, то in=iki^n = i^k.

Например, i23i^{23}. 23÷4=523 \div 4 = 5 остаток 33. Значит, i23=i3=−ii^{23} = i^3 = -i.

Степень общего комплексного числа (a+bi)n(a+bi)^n вычисляется по формуле бинома, например, (a+bi)2=a2+2abi+(bi)2=a2+2abi−b2=(a2−b2)+2abi(a+bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = (a^2-b^2) + 2abi.

Запомните

  1. Сложение: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
  2. Вычитание: (a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
  3. Умножение: (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
  4. Деление: a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}
  5. Степени мнимой единицы ii повторяются с периодом 4: i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1

Разобранные примеры

  1. Пример 1

    Вычислите: (4+2i)(1−i)−(3+5i)(4+2i)(1-i) - (3+5i)

    Решение

    1. Сначала умножим скобки: (4+2i)(1−i)=4⋅1+4⋅(−i)+2i⋅1+2i⋅(−i)=4−4i+2i−2i2=4−2i−2(−1)=4−2i+2=6−2i(4+2i)(1-i) = 4\cdot1 + 4\cdot(-i) + 2i\cdot1 + 2i\cdot(-i) = 4 - 4i + 2i - 2i^2 = 4 - 2i - 2(-1) = 4 - 2i + 2 = 6-2i

    2. Теперь выполним вычитание: (6−2i)−(3+5i)=(6−3)+(−2−5)i=3−7i(6-2i) - (3+5i) = (6-3) + (-2-5)i = 3-7i

    Ответ: 3−7i3-7i

  2. Пример 2

    Найдите значение выражения: 5−i2+3i+i15\frac{5-i}{2+3i} + i^{15}

    Решение

    1. Вычислим дробную часть. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю, то есть на 2−3i2-3i: 5−i2+3i=(5−i)(2−3i)(2+3i)(2−3i)=10−15i−2i+3i222+32=10−17i−34+9=7−17i13=713−1713i\frac{5-i}{2+3i} = \frac{(5-i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)} = \frac{10-15i-2i+3i^2}{2^2+3^2} = \frac{10-17i-3}{4+9} = \frac{7-17i}{13} = \frac{7}{13} - \frac{17}{13}i

    2. Вычислим степень i15i^{15}. 15÷4=315 \div 4 = 3 остаток 33. Значит, i15=i3=−ii^{15} = i^3 = -i.

    3. Теперь сложим: (713−1713i)+(−i)=713+(−1713−1)i=713+(−1713−1313)i=713−3013i(\frac{7}{13} - \frac{17}{13}i) + (-i) = \frac{7}{13} + (-\frac{17}{13}-1)i = \frac{7}{13} + (-\frac{17}{13}-\frac{13}{13})i = \frac{7}{13} - \frac{30}{13}i

    Ответ: 713−3013i\frac{7}{13} - \frac{30}{13}i

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

  1. Выполните действия: (2+5i)−(4−3i)+(1+i)(2+5i) - (4-3i) + (1+i)

    1. −1+9i-1+9i
    2. −1+7i-1+7i
    3. 7+3i7+3i
    4. 1+9i1+9i
    5. −1−9i-1-9i
    Показать ответСкрыть ответ

    Правильный ответ: A −1+9i-1+9i

    (2−4+1)+(5−(−3)+1)i=(−1)+(5+3+1)i=−1+9i(2-4+1) + (5-(-3)+1)i = (-1) + (5+3+1)i = -1+9i

  2. Найдите произведение: (3−2i)(4+i)(3-2i)(4+i)

    1. 10−5i10-5i
    2. 14+5i14+5i
    3. 14−5i14-5i
    4. 10+5i10+5i
    5. 12−2i12-2i
    Показать ответСкрыть ответ

    Правильный ответ: C 14−5i14-5i

    (3−2i)(4+i)=3⋅4+3i−2i⋅4−2i2=12+3i−8i−2(−1)=12−5i+2=14−5i(3-2i)(4+i) = 3\cdot4 + 3i - 2i\cdot4 - 2i^2 = 12 + 3i - 8i - 2(-1) = 12 - 5i + 2 = 14-5i

  3. Вычислите значение выражения: 2−i1+2i−i2023\frac{2-i}{1+2i} - i^{2023}

    1. ii
    2. −i-i
    3. 11
    4. −1-1
    5. 00
    Показать ответСкрыть ответ

    Правильный ответ: E 00

    2−i1+2i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2−4i−i+2i212+22=2−5i−21+4=−5i5=−i\frac{2-i}{1+2i} = \frac{(2-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{2-4i-i+2i^2}{1^2+2^2} = \frac{2-5i-2}{1+4} = \frac{-5i}{5} = -i. i2023i^{2023}: 2023÷4=5052023 \div 4 = 505 остаток 33. Значит, i2023=i3=−ii^{2023} = i^3 = -i. Тогда −i−(−i)=0-i - (-i) = 0.

Типичные ошибки

  • Смешивание действительных и мнимых частей при сложении или вычитании комплексных чисел.
  • Забывать, что i2=−1i^2 = -1 при умножении комплексных чисел, и писать i2=1i^2=1.
  • При делении комплексных чисел делить напрямую, вместо умножения числителя и знаменателя на сопряжённое к знаменателю.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетиторомРешить задачу по фото